Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы

Функция распределения Максвелла

Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы

       Пусть имеется n тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре.

После каждого акта столкновения между молекулами, их скорости меняются случайным образом.

В результате невообразимо большого числа столкновений устанавливается стационарное равновесное состояние, когда число молекул в заданном интервале скоростей сохраняется постоянным.

       В результате каждого столкновения проекции скорости молекулы испытывают случайное изменение на Δυx, Δυy, Δυz, причем изменения каждой проекции скорости независимы друг от друга. Будем предполагать, что силовые поля на частицы не действуют.

Найдем в этих условиях, каково число частиц dn из общего числа n имеет скорость в интервале от υ до υ+Δυ.

При этом мы не можем ничего определенного сказать о точном значении скорости той или иной частицы υi, поскольку за столкновениями и движениями каждой из молекул невозможно проследить ни в опыте, ни в теории. Такая детальная информация вряд ли имела бы практическую ценность.

       Распределение молекул идеального газа по скоростям впервые было получено знаменитым английским ученым Дж. Максвеллом в 1860 году с помощью методов теории вероятностей.

Максвелл Джеймс Клерк (1831 – 1879) – английский физик. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости. Установил статистический закон, описывающий распределение молекул газа по скоростям. Самым большим достижением Максвелла является теория электромагнитного поля, которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений, выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений.

       Вывод формулы функции распределения молекул по скоростям есть в учебнике Ю.И Тюрина и др. (ч. 1) или И.В. Савельева (т. 1). Мы воспользуемся результатами этого вывода.

       Скорость – векторная величина. Для проекции скорости на ось х (x-й составляющей скорости) из (2.2.1) имеем тогда

(2.3.1)

где А1 – постоянная, равная

       Графическое изображение функции показано на рисунке 2.2. Видно, что доля молекул со скоростью не равна нулю. При , (в этом физический смысл постоянной А1).
Рис. 2.2        Приведённое выражение и график справедливы для распределения молекул газа по x-компонентам скорости.

Очевидно, что и по y– и z-компонентам скорости также можно получить:        Вероятность того, что скорость молекулы одновременно удовлетворяет трём условиям: x-компонента скорости лежит в интервале от υх до υх+dυх; y-компонента, в интервале от υy до υy+dυy; z-компонента, в интервале от υz до υz+dυz будет равна произведению вероятностей каждого из условий (событий) в отдельности: где , или

(2.3.2)

       Формуле (2.3.2) можно дать геометрическое истолкование: dnxyz – это число молекул в параллелепипеде со сторонами dυx, dυy, dυz, то есть в объёме dV=dυxdυydυz(рис. 2.3), находящемся на расстоянии от начала координат в пространстве скоростей.

       Эта величина (dnxyz) не может зависеть от направления вектора скорости . Поэтому надо получить функцию распределения молекул по скоростям независимо от их направления, то есть по абсолютному значению скорости.

       Если собрать вместе все молекулы в единице объёма, скорости которых заключены в интервале от υ до υ+dυ по всем направлениям, и выпустить их, то они окажутся через одну секунду в шаровом слое толщиной dυ и радиусом υ (рис. 2.4). Этот шаровой слой складывается из тех параллелепипедов, о которых говорилось выше.

Рис. 2.3Рис. 2.4

       Объём этого шарового слоя        Общее число молекул в слое, как следует из (2.3.2)        Отсюда следует закон распределения молекул по абсолютным значениям скоростей Максвелла:

(2.3.3)

где – доля всех частиц в шаровом слое объема dV, скорости которых лежат в интервале от υ до υ+dυ.

       При dυ = 1 получаем плотность вероятности, или функцию распределения молекул по скоростям:

(2.3.4)

       Эта функция обозначает долю молекул единичного объёма газа, абсолютные скорости которых заключены в единичном интервале скоростей, включающем данную скорость.

       Обозначим: тогда из (2.3.4) получим:

(2.3.5)

       График этой функции показан на рисунке 2.5.
Рис. 2.5        Выводы:

  • Вид распределения молекул газа по скоростям для каждого газа зависит от рода газа (m) и от параметра состояния (Т). Давление P и объём газа V на распределение молекул не влияют.
  • В показателе степени стоит отношение , т.е. кинетической энергии, соответствующей данной скорости υ к (kТ) – средней энергии теплового движения молекул при данной температуре, значит распределение Максвелла характеризует распределение молекул по значениям кинетической энергии (то есть показывает, какова вероятность при данной температуре иметь именно такое значение кинетической энергии).

       Рассмотрим пределы применимости классического описания распределения частиц по скоростям. Для этого воспользуемся соотношением неопределенностей Гейзенберга. Согласно этому соотношению координаты и импульс частицы не могут одновременно иметь определенное значение. Классическое описание возможно, если выполнены условия:

       Здесь – постоянная Планка – фундаментальная константа, определяющая масштаб квантовых (микроскопических) процессов.

       Таким образом, если частица находится в объеме , то в этом случае возможно описание ее движения на основе законов классической механики.

       Наиболее вероятная, среднеквадратичная и средняя арифметическая скорости молекул газа

       Рассмотрим, как изменяется с абсолютной величиной скорости число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей, при единичной концентрации частиц.

       График функции распределения Максвелла

,

приведен на рисунке 2.6.
Рис. 2.6        Из графика видно, что при «малых» υ, т.е. при , имеем ; затем достигает максимума А и далее экспоненциально спадает .

       Величину скорости, на которую приходится максимум зависимости , называют наиболее вероятной скоростью.

       Найдем эту скорость из условия равенства производной .

,(2.3.6)

наиболее вероятная скорость одной молекулы.

       Для одного моля газа:

.(2.3.7)

       Среднюю квадратичную скорость найдем, используя соотношение :

.– для одной молекулы;(2.3.8)
.– для одного моля газа.(2.3.9)

       Средняя арифметическая скорость:

. .

где – число молекул со скоростью от υ до υ+dυ.

Если подставить сюда f(υ) и вычислить, то получим:

.– для одной молекулы;(2.3.10)
.– для одного моля газа.(2.3.11)

       Все три скорости незначительно отличаются друг от друга множителем порядка единицы, причем

Формула Максвелла для относительных скоростей

       Для решения многих задач удобно использовать формулу Максвелла, где скорость выражена в относительных единицах.

       Относительную скорость обозначим через u:

(2.3.12)

где . Тогда из (2.3.3), получим

.(2.3.13)

Это уравнение универсальное. В таком виде функция распределения не зависит ни от рода газа, ни от температуры.

       На рисунке 2.7 показано максвелловское распределение частиц f(υ), имеющих скорости от υ до υ+dυ. За единицу скорости здесь взята наиболее вероятная скорость.

       Полезно знать, что .
Рис. 2.7

Зависимость функции распределения Максвелла от массы молекул и температуры газа

       На рисунке 2.8 показана зависимость f(υ) при различных температурах и массах молекул газа.
Рис. 2.8        Из рисунка 2.8 можно проследить за изменением f(υ) при изменении m и T. В данном случае (при T = const ) или (при m = const).

Площадь под кривой величина постоянная, равная единице (), поэтому важно знать как будет изменяться положение максимума кривой:

кроме того

       Максвелловский закон распределения по скоростям и все вытекающие следствия справедливы только для газа в равновесной системе.

Закон статистический, и выполняется тем лучше, чем больше число молекул.

Источник: http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D0%9C%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0.%20%D0%A2%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0/02-3.htm

Закон распределения молекул по скоростям

Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы
Определение 1

С помощью закона распределения молекул по скоростям мы можем описать, как именно в макроскопической системе происходит распределение частиц (при условии ее нахождения в термодинамическом равновесии). Такое распределение называется стационарным, и воздействия внешних сил на систему при этом не происходит.

Данный закон распространяется как на жидкости, так и на газы, если на них действуют законы классической механики. Если мы знаем, как именно распределяются молекулы по своим скоростям, значит, мы можем ответить, какой объем молекул имеет определенную скорость в условиях заданной температуры в равновесном состоянии.

Чтобы лучше объяснить данный вопрос, начнем с введения такого понятия, как пространство скоростей. Оно изображено схематически на рисунке 1.

Рисунок 1

Мы видим, что в декартовой системе координат здесь отмечены именно проекции скоростей, а не координаты. Тогда исходный вопрос можно переформулировать так: “Как именно будут распределяться молекулы в пространстве скоростей”?

Очевидно, что данное распределение не будет равномерным. Если в пространстве мы выделим параллелепипед, имеющий объем dω=dυxdυydυz, то в нем окажется dNυ молекул. Обозначим буквой N число молекул газа, тогда f(v) будет некоторой функцией скорости.

Распределение Максвелла

Поскольку, как мы уже отмечали, газ находится в равновесном состоянии, то направления движений частиц являются равноправными. Значит, допустимо считать, что в пространстве скоростей распределение молекул является симметричным и имеет сферическую форму.

Рисунок 2

Определим, из скольких молекул состоит шаровой слой dυ. Разделим найденное выше число на количество частиц (N) и получим вероятность dWυ того, что пределы модуля скорости молекулы равны υ – υ+dv.

Здесь F(v) является функцией распределения вероятности значения v. Впервые данная функция теоретически была получена Д. Максвеллом.

Определение 2

Таким образом, закон распределения молекул по модулям скоростей имеет следующий вид:

dNυ=N4πm02πkT32exp-m0υ22kTυ2dυ.

Здесь υ=υx2+υy2+υz2, масса молекулы равна m0, а k – постоянная Больцмана.

По проекциям скоростей распределение Максвелла может быть записано так:

dN=Nfυxfυyfυzdυxdυydυz.

Важно учесть, что:

fυi=m02πkT12exp-m0υi22kT (i=x,y,z).

Параметры υx, υy, υz означают проекции скоростей молекул на оси координат.

Также возможен следующий вариант записи распределения Максвелла:

dN=N4πυver3exp-υυver2υ2dυ.

Здесь υυer обозначает наиболее вероятную скорость движения молекулы.

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Кривая распределения молекул по скоростям на графике выглядит так:

Рисунок 3

При этом доля тех молекул, которые движутся со скоростями в интервале от υ до υ+dυ будет пропорциональна площади dS, которая на графике обозначена штриховкой.

Определение 3

Скорости всех молекул принадлежат интервалу от нуля до плюс бесконечности, значит, будет верным равенство:

∫0∞f(υ)dυ=1.

Оно называется условием нормировки функции распределения.

Следовательно, распределение Максвелла по скоростям имеет зависимость от температуры газа и массы его молекул. Объем и давление можно не учитывать.

Пример 1

Условие: вычислите, какова будет наиболее вероятная скорость молекул газа при температуре Т в равновесном состоянии.

Решение

Нам потребуется распределение Максвелла (распределение по модулям скоростей).

dNυ=N4πm02πkT32exp-m0υ22kTυ2dυ.

Максимум функции будет соответствовать самой вероятной скорости. Дифференциация выражения по скорости и сравнение ее с нулем даст нам следующий результат:

dNυdυ=N4πm02πkT322υυerexp-m0υυer22kT-υυer2m02υυer2kTexp-m0υυer22kT=0;

2υυer-υυer2m02υυer2kT=0→1-υυer2m02kT=0→υυer2=2kTm0.

υυer=2kTm0.

Ответ: наиболее вероятно, что скорость газа будет равна υυer=2kTm0.

Пример 2

Условие: изобразите кривые распределения скоростей молекул газа при росте температуры Т.

Решение

Возьмем формулу наиболее вероятной скорости из предыдущей задачи.

υυer=2kTm0

Понятно, что чем больше будет температура, тем выше будет скорость молекул, т.е. произойдет смещение максимума в сторону больших скоростей. Поскольку площадь под кривой распределения является постоянной величиной, кривые на графике будут показаны следующим образом:

Рисунок 4

Пример 3

Условие: дан график функции, по которой молекулы будут распределяться с учетом проекций скорости υx. Сопоставьте количества молекул, проекции скорости которых будут принадлежать интервалам от нуля до υx1 и от υx1 до υx2.

Рисунок 5

Решение

Как мы уже указывали ранее, доля молекул газа, скорости которых лежат в первом интервале, будет пропорциональна площади фигуры, образуемой кривой распределения, вертикальной осью 0 1NdNdυx и вертикальным пунктиром, перпендикулярным оси проекций.

Во втором интервале нужная доля будет пропорциональна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и вертикальной прямой, параллельной оси ох и проходящей через точку υx1. Очевидно, что площадь первой фигуры будет меньше площади второй.

Значит, и молекул, проекции скоростей которых лежат в первом интервале, будет меньше, чем во втором.

Ответ: молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до υx1 меньше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от υx1 до υx2.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/molekuljarno-kineticheskaja-teorija/zakon-raspredelenija-molekul-po-skorostjam/

27. Закон Максвелла распределения молекул по абсолютным значениям скоростей. Средняя, средняя квадратичная и наиболее вероятная скорость молекул

Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы

Привыводе основного уравнениямолекулярно-кинетической теорииполагалось, что молекулы имеют различныескорости. После многократных соударенийскорость каждой молекулы изменяетсяпо модулю и направлению. Но из-захаотического движения молекул всенаправления движения равновероятны,т. е. в любом направлении в среднемдвижется равное число молекул.

  Согласномолекулярно-кинетической теории, какбы ни изменялись при столкновенияхскорости молекул, средняя квадратичнаяскорость молекул массой m0 вгазе, который находится в состоянииравновесия при Т= const, остается неизменнои равной  Этообъясняется тем, что в газе, находящемсяв состоянии равновесия, устанавливаетсянекоторое стационарное, не меняющеесясо временем статистическое распределениемолекул по скоростям, подчиняющаясявполне определенному статистическомузакону. Этот закон теоретически выведенДж. Максвеллом.  Привыводе закона распределения молекулпо скоростям Максвелл сделал предположение,что газ состоит из огромного числа Nтождественных молекул, которые находятсяв состоянии беспорядочного тепловогодвижения при одинаковой температуре.Также предполагалось, что силовые поляна газ не действуют.  ЗаконМаксвелла описывается некоторой функциейf(ν),которая называется функциейраспределения молекул по скоростям.Если разбить диапазон скоростей молекулна малые интервалы, которые равны dν, тона каждый интервал скорости приходитсячисло молекул dN(ν),имеющих скорость, которая заключена вэтом интервале. Функция f(ν)задает относительное число молекулdN(ν)/N,скорости которых находятся в интервалеот ν до ν+dν,т. е.    откуда    Применяяметоды теории вероятностей, Максвеллполучил функцию f(ν)— законо распределеня молекул идеального газапо скоростям:   (1)  Из(1) видно, что конкретный вид функциизависит от вида газа (от массы молекулы)и от параметра состояния (от температурыТ).  Графикфункции (1) приведен на рис. 1. Так как привозрастании ν множительexp[–m0ν2/(2kT)]уменьшается быстрее, чем увеличиваетсямножитель ν2,то функция f(ν),начинаясь от нуля, достигает максимумапри νB,и затем асимптотически стремится кнулю. Кривая несимметрична относительно νB. 

Рис.1

Относительноечисло молекул dN(ν)/N,со скоростями, лежащими в интервалеот ν до ν+dν,рассчитывается как площадь заштрихованнойполоски на рис. 1. Площадь, котораяограничена кривой распределения и осьюабсцисс, равна единице.

Это значит, чтофункция f(ν)удовлетворяет условию нормировки    Скорость,при которой максимальна функцияраспределения молекул идеального газапо скоростям, называется наиболеевероятной скоростью,значение которой можно найтипродифференцировав выражение (1)(постоянные множители опускаем) поаргументу ν,при этом приравняв результат нулю ииспользуя условие для максимума выраженияf(ν):      Значения ν=0и ν=∞соответствуют минимумам выражения (1),а значение ν,при котором выражение в скобках становитсяравным нулю, и есть искомая наиболеевероятная скорость νB:   (2)  Изформулы (2) мы видим, что при возрастаниитемпературы максимум функции распределениямолекул по скоростям (рис. 2) движетсявправо (при этом становится большезначение наиболее вероятной скорости).Однако площадь, которая ограниченакривой, не меняется, поэтому криваяраспределения молекул по скоростям приповышении температуры будет растягиватьсяи понижаться. 

Рис.2

Средняяскорость молекулы (средняя арифметическая скорость)определяется по формуле    Подставляясюда f(ν)и интегрируя, получаем   (3)  Скорости,которые характеризуют состояние газа:1) наиболее вероятная 2)средняя 3)средняя квадратичная (рис.1).

Исходя из распределения молекул поскоростям   (4)  найдемраспределение молекул газа по значениямкинетической энергии ε. С этой цельюперейдем от переменной ν кпеременной ε=m0v2/2.

Подставив в (4) и ,получим    гдеdN(ε) — число молекул, которые имеликинетическую энергию поступательногодвижения, заключенную в интервале от εдо ε + dε.  Значит, функцияраспределения молекул по энергиямтеплового движения    Средняякинетическая энергия молекулыидеального газа    т.е.

получили результат, совпадающий сформулой о средней кинетической энергиидвижения одной молекулы идеальногогаза, выводимой из молекулярно-кинетическойтеории.

Источник: https://studfile.net/preview/2455628/page:6/

Распределение Максвелла

Как было отмечено, газ находится в состоянии равновесия, все направления движения частиц равноправны, следовательно, распределение молекул в пространстве скоростей можно считать сферически симметричным (рис.2).

Рис. 2

Найдем число молекул в шаровом слое $dv$:

Разделим (2) на число частиц (N) и найдем вероятность$\ (dW_v)$ того, что модуль скорости молекулы находится в пределах от $v\ до\ v+dv$:

где $F\left(v\right)$- функция распределения вероятности значения $v.\ $Эту функцию теоретически получил Д. Максвелл.

Таким образом, распределение молекул по скоростям (вернее их модулям) запишем как:

\[dN_v=N4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}{\frac{3}{2}}exp\left(-\frac{m_0v2}{2kT}\right)v2dv\ \left(5\right),\]

при этом $v=\sqrt{{v_x}2+{v_y}2+{v_z}2}$, $m_0$- масса молекулы, k — постоянная Больцмана.

Можно записать распределение Максвелла по проекциям скоростей:

\[dN=Nf\left(v_x\right)f\left(v_y\right)f\left(v_z\right)dv_xdv_ydv_{z\ }\left(6\right),\]

при этом

\[f\left(v_i\right)={\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}{\frac{1}{2}}exp\left(-\frac{m_0{v_i}2}{2kT}\right)\ \left(i=x,y,z\right)\left(7\right),\]

где $v_x,v_y,v_{z\ }$ – проекции скорости молекулы на оси координат.

Еще один из вариантов написания распределения Максвелла по модулям скоростей представлен в виде:

\[dN=N\frac{4}{\sqrt{\pi }{v_{ver}}3}{exp \left(-{\left[\frac{v}{v_{ver}}\right]}2v2\right)\ }dv\left(8\right),\]

где $v_{ver}$ — вероятнейшая скорость молекулы.

Рис. 3

На рисунке 3 изображена кривая закона распределения молекул по скоростям. Доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $v\ до\ v+dv,$ пропорциональна заштрихованной площади dS под кривой.

Поскольку скорости всех молекул лежат в интервале от $0\ до+\infty $, то выполняется равенство:

\[\intolimits{\infty }_0{f\left(v\right)dv}=1\ \left(9\right).\]

Это так называемое условие нормировки функции распределения.

Таким образом, распределение Максвелла зависит от массы молекулы газа и его температуры. Давление и объем в распределение не входят.

Пример 1

Задание: Используя распределение Максвелла, найдите наиболее вероятную скорость молекул газа в равновесном состоянии газа при температуре T.

Решение:

За основу возьмем распределение молекул по модулям скоростей:

\[dN_v=N4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}{\frac{3}{2}}exp\left(-\frac{m_0v2}{2kT}\right)v2dv\ \left(1.1\right).\]

Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции, то продифференцируем выражение (1.1) по скорости и приравняем к нулю, получим:

\[\frac{dN_v}{dv}=N4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}{\frac{3}{2}}\left[2v_{ver}exp\left(-\frac{m_0{v_{ver}}2}{2kT}\right)-{v_{ver}}2\frac{m_02v_{ver}}{2kT}exp\left(-\frac{m_0{v_{ver}}2}{2kT}\right)\right]=0\to \] \[2v_{ver}-{v_{ver}}2\frac{m_02v_{ver}}{2kT}=0\to 1-{v_{ver}}2\frac{m_0}{2kT}=0\to {v_{ver}}2=\frac{2kT}{m_0}\] \[v_{ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}\ (1.2)\]

Ответ: Наиболее вероятная скорость молекул газа $v_{ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}.$

Пример 2

Задание: Пусть $Т_1

Решение:

Из формулы для наиболее вероятной скорости молекул газа, полученной в предыдущем примере:

\[v_{ver}=\sqrt{\frac{2kT}{m_0}}\ (2.1)\]

очевидно, что с увеличением температуры скорость растет, то есть максимум кривой смещается в сторону больших скоростей. Площадь под кривой распределения величина постоянная, следовательно, кривые изобразим следующим образом (рис.4).

Рис. 4

Пример 3

Задание: На рис. 5 представлен график функции распределения молекул по проекциям скорости $v_x$. Сравнить числа молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$и от $v_{x1}$ до $v_{x2}$.

Рис. 5

Решение:

Как уже отмечалось в теоретической части, доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $0\ до\ v_{x1},$ пропорциональна площади $S_1$ фигуры, которая ограничена кривой распределения, вертикальной осью (0$\ \frac{1}{N}\frac{dN}{dv_x})$ и пунктирной вертикальной линией перпендикулярной оси проекций скоростей проходящей через точку $v_{x1}$. Во втором случае доля молекул газа, скорости которых лежат в интервале от $v_{x1}\ до\ v_{x2},$ пропорциональна площади $S_2$ фигуры, которая ограничена кривой распределения, вертикальной прямой параллельной оси (0$\ \frac{1}{N}\frac{dN}{dv_x}),\ проходящей\ через\ точку\ v_{x1}$ и пунктирной вертикальной линией перпендикулярной оси проекций скоростей, проходящей через точку $v_{x2}$. Очевидно, что $S_1>S_2.\ $ Следовательно, молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$ больше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от $v_{x1}$ до $v_{x2}$.

Ответ: Молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до $v_{x1}$ больше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от $v_{x1}$ до $v_{x2}$.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/molekulyarnaya_fizika/zakon_raspredeleniya_molekul_po_skorostyam/

3.3. Характерные скорости молекул

Распределение Максвелла по скоростям. Наиболее вероятная среднеквадратичная скорость движения молекулы

В этом разделе приводятся некоторые следствия, вытекающие из формул (3.29) и (3.30). В качестве примера на рис. 3.3 изображены две кривые, соответствующие распределениям f(v) молекул кислорода O2 по абсолютным величинам скоростей при температурах Т1 = 300 К и Т2 = 1 300 К.

Рис. 3.3. Распределение молекул кислорода по скоростям при разных температурах T1 = 300 К и T2 = 1 300 К

Наиболее вероятная скорость. При бесконечно малых и неограниченно больших значениях скоростей функция распределения стремится к нулю

то есть такие предельные значения скоростей маловероятны в системе. Следовательно, при каком-то значении скорости функция f(v) достигает своего максимума.

Наиболее вероятная скорость vВЕР — это скорость, отвечающая максимальному значению функции распределения.

Ее можно найти, решая уравнение

откуда следует, что

(3.31)

Иными словами, наиболее вероятной называется скорость, вблизи которой на единичный интервал приходится наибольшее число молекул. В этой точке f(v) принимает максимальное значение:

(3.32)

Соотношения (3.31), (3.32) могут быть полезны для анализа изменения функции распределения при изменении температуры газа или при изменении рода газа, то есть массы молекул. Отметим, что как следует из (3.26) – (3.

29), распределение Максвелла зависит не отдельно от массы молекул и отдельно от температуры газа, а от их отношения .

Поэтому распределение не только «буквенно» но и численно одно и тоже, например, для  молекулярного водорода    при температуре  и для гелия    при температуре .

С ростом температуры наиболее вероятная скорость vВЕР (3.31) увеличивается, то есть максимум функции f(v) сдвигается вправо (см. рис. 3.3), Т2 > Т1. При этом f(vВЕР) уменьшается, то есть кривая становится более пологой.

Так же деформируется кривая, если температура постоянна, но масса молекул уменьшается. Напомним, что при любых деформациях функции распределения f(v) площадь под кривыми постоянна и равна единице в соответствии с формулой (3.

30).

Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение v0, определяется выражением

(3.33)

На графике (см. рис. 3.3) этому интегралу соответствует лежащая справа от v0 часть площади (отмечена штриховкой), ограниченная кривой f(v) и осью скоростей. Как видно из рис. 3.3, относительное количество молекул, имеющих скорости, превышающие v0, растет с повышением температуры.

В заключение этого раздела заметим, что во всех формулах для функции распределения и характерных скоростей входит отношение массы молекулы к постоянной Больцмана

Умножая числитель и знаменатель на число Авогадро NA и учитывая, что

— молярная масса газа, a

— универсальная газовая постоянная, мы всюду можем использовать это отношение в наиболее удобной для конкретной задачи форме

Распределение молекул по величинам безразмерной скорости. Если при графическом изображении функции распределения Максвелла (3.

29) по оси абсцисс откладывать скорости молекул v, то форма кривой и положение максимума будут зависеть от массы молекул и от температуры газа.

Но если по горизонтальной оси откладывать отношение скорости к наиболее вероятной скорости, то есть безразмерную скорость

то для всех температур и любых масс молекул (любых газов) получится одна и та же кривая (рис. 3.4).

Рис. 3.4.Распределение Максвелла по величинам безразмерной скорости

Сделав замену переменной

в (3.29) и учитывая, что

получим распределение Максвелла в форме

(3.34)

Эта формула и соответствующий ей график (см. рис. 3.4) удобны для решения многих задач.

Пример. Найдем, какая часть общего числа молекул кислорода имеет при температуре 27 °С скорости, отличающиеся от наиболее вероятной не более, чем на 1 %; а также скорости в интервале 562–572 м/с.

Произведем необходимые вычисления. Чтобы ответить на первый вопрос задачи, учтем, что u = 1 при v = vВЕР. Величина интервала du = 0,02. Следовательно,

Вычислим наиболее вероятную скорость:

Найдем отношение v = 562 м/с к vВЕР = 395 м/с

Определим по кривой (см. рис. 3.4) значение функции f(u) при u = 1,42. Получаем f(u) = 0,62. Ширина интервала Dv = 10 м/с (Du = 10/395 = 0,0253). Следовательно, доля молекул в этом интервале

Интересно отметить, что молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,4 км. Но не нужно забывать о соударениях молекул.

Из-за них молекула по прямой движется очень недолго, и ее путь представляет собой ломаную линию.

Поэтому молекула, двигаясь с огромной скоростью по отдельным звеньям ломаной траектории, передвигается от слоя к слою газа со сравнительно небольшой скоростью.

Средняя арифметическая скорость. Знание функции распределения молекул по скоростям f(v) дает возможность найти среднее значение скорости, а также любой величины, являющейся функцией скорости, например квадрата скорости v2 или кинетической энергии молекулы mv2/2.

Средняя арифметическая скорость — это отношение суммы абсолютных величин скоростей всех молекул в системе к числу этих молекул.

Разобьем интервал всех возможных значений скорости от 0 до бесконечности на малые интервалы Dvi. Каждому интервалу соответствует количество молекул

(3.35)

Так как интервалы Dvi, малы, то можно приближенно считать скорости молекул данного интервала одинаковыми и равными vi. Сумма значений скоростей молекул интервала

(3.36)

Сумма значений скоростей всех молекул

(3.37)

Разделив эту сумму на число молекул, получим выражение для средней арифметической скорости

(3.38)

Переходя от суммы к интегралу, получаем

(3.39)

Вычисляя интеграл, получаем среднюю арифметическую скорость молекул

(3.40)

Среднеквадратичная скорость. Чтобы найти среднее значение произвольной функции L(v) скорости, нужно эту функцию умножить на функцию распределения и проинтегрировать по всем возможным значениям скорости:

(3.41)

В частности, при L(v) = v отсюда находится .

Среднее значение квадрата скорости равно отношению суммы квадратов скоростей всех молекул системы к общему числу молекул. Таким образом,

(3.41)

Среднеквадратичная скорость это корень квадратный из среднего значения квадрата скорости молекул

Следует отметить, что характерные скорости отличаются друг от друга лишь численными множителями, причем

(3.43)

а зависимость от Т и m0 (или m) у них одинаковая.

Через среднеквадратичную скорость выражается средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул

(3.44)

Этот результат находится в согласии с формулой (1.14) кинетической теории идеальных газов и с законом о равнораспределении энергии, который гласит, что на каждую степень свободы молекулы приходится энергия kBТ/2.

Три степени свободы поступательного движения молекулы как раз соответствуют полученному здесь результату (3.44). В сущности, именно для того, чтобы получить такое соответствие, мы выбрали должным образом коэффициент α в (3.

26).

Эксперимент по проверке распределения Максвелла. Необходимо еще раз подчеркнуть, что установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесии.

Закон справедлив для любого числа молекул N, если только это число достаточно велико. Закон Максвелла — статистический, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к большему числу одинаковых объектов они применяются. При малом числе объектов могут наблюдаться значительные отклонения от предсказанной статистики — флуктуации.

Экспериментальное определение распределения скоростей молекул было осуществлено впервые О. Штерном в 1920 г. Исследовалось распределение по скоростям одноатомных молекул паров металлов (Ag или Pt), из которых была изготовлена нить, расположенная на оси двух цилиндров. Нить нагревалась электрическим током, и металл испарялся (см. рис 3.5).

Рис. 3.5 Схема опыта Штерна: 1 — вид установки сбоку; 2 — вид установки сверху

Молекулы, прошедшие через щель во внутреннем цилиндре, летели по прямой и оседали на стенке холодного внешнего цилиндра.

Если привести всю установку во вращение (щель все время против точки В0), то молекулы, обладающие большой скоростью v, попадут в некоторую точку вблизи В0, а более медленные затратят на путь больше времени и попадут в точки, отстоящие дальше от В0.

Следует обратить внимание, что вылетающие молекулы движутся по прямой, они не участвуют во вращательном движении. Поскольку молекулы в зависимости от скорости попадают в разные точки внешнего цилиндра, то исследуя толщину слоя металла, осевшего на его стенку, можно составить представление о распределении молекул по скоростям.

Найдем распределение молекул по расстояниям S от точки В0 до места их попадания на стенку цилиндра. Если R и r — радиусы большого и малого цилиндров, соответственно (см. рис.), то время полета от щели до стенки цилиндра

За это время цилиндр повернется на угол

где ω — угловая скорость вращения установки. Соответственно, точка попадания будет смещена относительно В0 на расстояние

Подставляя сюда время полета, получаем связь скорости молекулы с расстоянием S:

Подставляя, в свою очередь, полученное выражение в распределение Максвелла и учитывая, что

находим распределение молекул по расстояниям S:

(мы опускаем выражение для нормировочной постоянной С).

Опыты Штерна подтвердили справедливость закона, установленного Максвеллом.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/molecular_physics/data/course/3/3.3.1.html

Консультант Кузнецов
Добавить комментарий