Положительные и отрицательные углы в тригонометрии. Определения и знаки синуса, косинуса, тангенса угла

Знаки тригонометрических функций

Положительные и отрицательные углы в тригонометрии. Определения и знаки синуса, косинуса, тангенса угла

5 ноября 2011

  • Материалы к уроку
  • Знаки триг. функций

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

Синус угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

Косинус угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

Тангенс угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .

Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

  1. sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
  2. cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
  3. tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x < 0, y < 0).

Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:

Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.

Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.

Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):

  1. sin (3π/4);
  2. cos (7π/6);
  3. tg (5π/3);
  4. sin (3π/4) · cos (5π/6);
  5. cos (2π/3) · tg (π/4);
  6. sin (5π/6) · cos (7π/4);
  7. tg (3π/4) · cos (5π/3);
  8. ctg (4π/3) · tg (π/6).

План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:

  1. sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
  2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
  3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
  4. sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
  5. cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
  6. sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
  7. tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
  8. ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].

Поскольку sin2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.

Задача. Найдите cos α, если cos2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].

Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.

Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].

Имеем: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если tg2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].

Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!

Источник: https://www.berdov.com/ege/trigonometry/sign/

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Положительные и отрицательные углы в тригонометрии. Определения и знаки синуса, косинуса, тангенса угла

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.

  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos 150 ° = − 3 2

sin 150 ° = 1 2

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

30° 45° 60° 90°
sinα 0 12 22 32 1
cosα 1 32 22 12 0
tgα 0 33 1 3 нет
ctgα нет 3 1 33 0

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β:

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Источник: https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-1-trigonometriya/

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Положительные и отрицательные углы в тригонометрии. Определения и знаки синуса, косинуса, тангенса угла

В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Первое свойство – знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α. Второе свойство – периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и -α.

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: “угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти”. Что это такое?

Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A0(1, 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α, попадем в точку A1(x, y). В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A1(x, y), угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно. 

Для наглядности приведем иллюстрацию.

Угол α=30° лежит в первой четверти. Угол -210° является углом второй четверти. Угол 585° – угол третьей четверти. Угол -45° –  это угол четвертой четверти.

При этом углы ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.

Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.

Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус – это ордината точки A1(x, y). Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной – отрицательна.

Косинус – это абсцисса точки A1(x, y). В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.

Для определения знаков тангенса и котангенса по четвертям также вспоминаем определения этих тригонометрических функций. Тангенс – отношение ординаты точки к абсциссе.

Значит, по правилу деления чисел с разными знаками, когда ордината и абсцисса имеют одинаковые знаки, знак тангенса на окружности будет положительным, а когда ордината и абсцисса имеют разные знаки – отрицательным.

Аналогично определяются знаки котангенса по четвертям. 

Важно помнить!

  1. Синус угла α имеет знак плюс в 1 и 2 четвертях, знак минус – в 3 и 4 четвертях.
  2. Косинус угла α имеет знак плюс в 1 и 4 четвертях, знак минус – в 2 и 3 четвертях.
  3. Тангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус – в 2 и 4 четвертях.
  4. Котангенс угла α имеет знак плюс в 1 и 3 четвертях, знак минус – в 2 и 4 четвертях.

Свойство периодичности

Свойство периодичности – одно из самых очевидных свойств тригонометрических функций.

Свойство периодичности

При изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла остаются неизменными.

Действительно, при изменении угла на целое число оборотов мы всегда будем попадать из начальной точки A на единичной окружности в точку A1 с одними и теми же координатами. Соответственно, не будут меняться и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. 

Математически данное свойство записывается так: 

sinα+2π·z=sin αcosα+2π·z=cos αtgα+2π·z=tg αctgα+2π·z=ctg α

Какое применение на практике находит это свойство? Свойство периодичности, как и формулы приведения, часто используется для вычисления значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов больших углов. 

Приведем примеры.

sin13π5=sin3π5+2π=sin3π5

tg(-689°)=tg(31°+360°·(-2))=tg31°tg(-689°)=tg(-329°+360°·(-1))=tg(-329°)

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Вновь  обратимся к единичной окружности.

Точка A1(x, y) – результат поворота начальной точки A0(1, 0) вокруг центра окружности на угол α. Точка A2(x, -y) – результат поворота начальной точки на угол -α.

Точки A1и A2 симметричны относительно оси абсцисс. В случае, когда α=0°, ±180°, ±360° точки A1и A2 совпадают. Пусть одна точка имеет координаты (x, y), а вторая – (x, -y). Вспомним определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и запишем:

sin α=y, cos α=x, tg α=yx, ctg α=xysin-α=-y, cos-α=x, tg-α=-yx, ctg-α=x-y

  Отсюда следует свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

sin-α=-sin αcos-α=cos αtg-α=-tg αctg-α=-ctg α

Согласно этому свойству, справедливы равенства

sin-48°=-sin 48°, ctgπ9=-ctg-π9, cos 18°=cos-18°

Рассмотренное свойство часто используется при решении практических задач в случаях, когда нужно избавиться от отрицательных знаков углов в агрументах тригонометрических функций. 

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/svojstva-sinusa-kosinusa-tangensa-i-kotangensa/

Синус косинус и тангенс – материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Положительные и отрицательные углы в тригонометрии. Определения и знаки синуса, косинуса, тангенса угла

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла  катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от  до .

0
0
0
0
0

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол  равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку , .

2. В треугольнике угол  равен , , . Найдите .

Имеем:

Отсюда

Найдем  по теореме Пифагора.

Задача решена.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами  и  или с углами  и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами  и  катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами  и  — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/sinus/

МЕтодическая разработка Основные понятия тригонометрии

Положительные и отрицательные углы в тригонометрии. Определения и знаки синуса, косинуса, тангенса угла

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №531 Красногвардейского района

Санкт-Петербурга

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Основные понятия тригонометрии

Подготовила

учитель математики

Смирнова Галина Васильевна

г. Санкт-Петербург
2015

Основные понятия тригонометрии

Расширение понятия угла

В тригонометрии мы рассматриваем угол как фигуру, полученную поворотом луча вокруг его начальной точки Луч может вращаться против часовой стрелки – тогда получаем положительные углы. Если луч вращается по часовой стрелке, то угол считается отрицательным. Таким образом мы можем получить углы любой величины. При этом разные по величине углы могут иметь одинаковые начальные и конечные стороны.

Радианная и градусная мера угла

Углы измеряются в градусах и радианах. Один градус ( обозначение 1° ) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение 1‘ );  одна минута – соответственно из 60 секунд ( обозначаются 1“ ).

Угол в 1 радиан, это центральный угол, который опирается на дугу окружности, длина которой равна длине радиуса.

Чтобы найти радианную меру угла надо найти отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Справедливы формулы зависимости между радианной и градусной мерой.

Таблица значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:

Углы в градусах

30º

45º

60º

90º

180º

270º

360º

Углы в радианах

Тригонометрический круг. Поворот точки вокруг начала координат

Для понимания тригонометрии необходимо освоить понятия, связанные с, так называемым, тригонометрическим кругом. Тригонометрический круг — построенная на плоскости с прямоугольными декартовыми координатами окружность, имеющая центр в точке начала координат и радиус, равный 1.

В этой окружности рассматривают два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’. Они делят плоскость на четыре координатные четверти. У всех рассматриваемых углов начальная сторона будет совпадать с лучом ОА. Если конечная сторона угла лежит в какой-то четверти, то говорим, что это угол лежит в этой четверти.

Каждому углу на единичной окружности соответствует единственная точка, полученная поворотом точки на угол .

Если углы равны, то точки совпадают, но если точки совпали, то углы отличаются на , где k- некоторое целое число.

Каждому числу tна числовой прямой мы можем сопоставить точку на единичной окружности. Для этого необходимо повернуть точку на угол t радиан.

Синус, косинус, тангенс и котангенс

Рассмотрим на координатной плоскости окружность единичного радиуса с центром O в начале координат.Повернем точку(1;0) на угол . Получимточку.

Косинусом углаα называется абсцисса x точки .Синусом угла α называется ордината y точки .При этом тангенсом углаα называется отношение синуса этого угла к косинусу, а котангенсом углаα называется отношение косинуса этого угла к его синусу.

Вычисление значений тригонометрических функций.

Используя определения тригонометрических функций можно найти значения тригонометрических функций часто используемых в тригонометрии углов.

0

sin

0

1

0

1

0

cos

1

0

1

0

1

tg

0

1

Не определено

0

Не определено

0

сtg

Не определено

1

0

Не определено

0

Не определено

Знаки синуса, косинуса и тангенса.

Из определения тригонометрических функций следует, что синус положителен там, где положительна ордината, то есть в 1 и11 четверти. Косинус положителен в 111 и 1У четвертях, а тангенс в 1 и 111.

Синус, косинус и тангенс углов a и – a.

Из определения тригонометрических функций следует, что косинус -функция четная, а синус, тангенс и котангенс – нечетные, то есть

Задания с решением.

1. Найти значение выражения

Решение.

Находим в таблице значения тригонометрических функций нужных нам углов и подставляем их в данное выражение

Ответ5,5

2. Определить знак числа

Решение

Найдем все углы на окружности

– это угол в 1У четверти

это угол в 1 четверти

отрицательное число

отрицательное число, значит отрицательное число.

это угол 111четверти

это угол второй четверти

отрицательное число

отрицательное число, значит отрицательное число.

Произведение двух отрицательных чисел положительно, значит число положительное

Ответ-число положительное

3. Расположить в порядке возрастания

Решение

Найдем все углы на окружности

это угол второй четверти

это угол третьей четверти

это угол четвертой четверти

Ясно, что число положительное, а и отрицательны.

По рисунку видно, что больше чем

Ответ ,,

4. Вычислить

Решение

По свойству четности для косинуса и свойству нечетности для синуса получаем

Тогда

Ответ -12

5.Расположить в порядке возрастания

Решение

Найдем все углы на окружности

Вспомним, что 1 радиан Тогда

2 радиана – это примерно 114º -это угол второй четверти

4 радиана –это примерно 228º -это угол третьей четверти

По рисунку видно, что < <

Ответ ,,

Задания для самостоятельного решения

  1. Определить знак числа

  2. Расположить в порядке возрастанияSin 140o, Sin 190o, Sin 280o.

  3. Определить знак числа

  4. Расположить в порядке возрастания

  5. Определить знак числа

  6. Расположить в порядке возрастания

  7. Определить знак числа

  8. Определить знак числа

  9. Определить знак числа

  10. Определить знак числа

  11. Расположить в порядке возрастания

  12. Определить знак числа

  13. Расположить в порядке возрастания

  14. Определить знак числа

  15. Расположить в порядке возрастания

  16. Определить знак числа

  17. Расположить в порядке возрастания

  18. Определить знак числа

  19. Расположить в порядке возрастания

  20. Определить знак числа

  21. Определить знак числа

  22. Определить знак числа

  23. Определите знак числа

  24. Определите знак числа

  25. Определите знак числа

  26. Найти значение выражения

  27. Найти значение выражения

  28. Найти значение выражения

  29. Найти значение выражения при

  1. Найти значение выражения при

  2. Найти значение выражения при и

  1. Найти значение выражения при и

Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями

одного и того же аргумента

sin 2x + cos 2x = 1

1 + tg 2 x = 1 + ctg 2 x =

tgx ctg x = 1

С помощью данной группы формул и знания знака тригонометрических функций можно находить значения всех тригонометрических функций угла по значению одной из них.

Задания с решением.

1.Найти значения синуса, тангенса и котангенса угла , если и

Источник: https://infourok.ru/metodicheskaya-razrabotka-osnovnie-ponyatiya-trigonometrii-632520.html

Консультант Кузнецов
Добавить комментарий