Пирамида в основании которой лежит квадрат. Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды

Пирамида в основании которой лежит квадрат. Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды

Пирамида в основании которой лежит квадрат. Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды

урок 2: Задача на пирамиду. Объем пирамиды

урок 3: Задача на пирамиду. Правильная пирамида

Лекция: Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида

Пирамида, её свойства

Пирамида – это объемное тело, которое имеет в основании многоугольник, а все её грани состоят из треугольников.

Частным случаем пирамиды является конус, в основании которого лежит окружность.

Рассмотрим основные элементы пирамиды:

Апофема – это отрезок, который соединяет вершину пирамиды с серединой нижнего ребра боковой грани. Иными словами, это высота грани пирамиды.

На рисунке можно увидеть треугольники ADS, ABS, BCS, CDS. Если внимательно посмотреть на названия, можно увидеть, что каждый треугольник имеет в своем названии одну общую букву – S. То есть это значит, что все боковые грани (треугольники) сходятся в одной точке, которая называется вершиной пирамиды.

Отрезок ОS, который соединяет вершину с точкой пересечения диагоналей основания (в случае с треугольников – в точке пересечения высот), называется высотой пирамиды.

Диагональным сечением называют плоскость, которая проходит через вершину пирамиды, а также одну из диагоналей основания.

Так как боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников, то для нахождения общей площади боковой поверхности необходимо найти площади каждой грани и сложить их. Количество и форма граней зависит от формы и размеров сторон многоугольника, который лежит в основании.

Единственная плоскость в пирамиде, которой не принадлежит её вершина, называется основанием пирамиды.

На рисунке мы видим, что в основании лежит параллелограмм, однако, может быть любой произвольный многоугольник.

Свойства:

Рассмотрим первый случай пирамиды, при котором она имеет ребра одинаковой длины:

  • Вокруг основания такой пирамиды можно описать окружность. Если спроецировать вершину такой пирамиды, то её проекция будет находится в центре окружности.
  • Углы при основании пирамиды у каждой грани одинаковы.
  • При этом достаточным условием к тому, что вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а так же считать, что все ребра разной длины, можно считать одинаковые углы между основанием и каждым ребром граней.

Если Вам попалась пирамида, у которой углы между боковыми гранями и основанием равны, то справедливы следующие свойства:

  • Вы сможете описать окружность вокруг основания пирамиды, вершина которой проецируется точно в центр.
  • Если провести у каждой боковой грани высоты к основанию, то они будут равной длины.
  • Чтобы найти площадь боковой поверхности такой пирамиды, достаточно найти периметр основания и умножить его на половину длины высоты.
  • S бп = 0,5P oc H.
  • Виды пирамиды.
  • В зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании пирамиды, они могут быть треугольными, четырехугольными и др. Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), то такая пирамида будет называться правильной.

Правильная треугольная пирамида

Треугольная пирамида – это пирамида, в основе которой находится треугольник. Высота этой пирамиды – это перпендикуляр, который опущен из вершины пирамиды на ее основания.

Нахождение высоты пирамиды

Как найти высоту пирамиды? Очень просто! Для нахождения высоты любой треугольной пирамиды можно воспользоваться формулой объема: V = (1/3)Sh, где S – это площадь основания, V – объем пирамиды, h – ее высота.

Из этой формулы вывести формулу высоты: для нахождения высоты треугольной пирамиды, нужно умножить объем пирамиды на 3, а потом поделить получившееся значение на площадь основания, это будет: h = (3V)/S. Поскольку основание треугольной пирамиды – это треугольник, можно воспользоваться формулой подсчета площади треугольника.

Если нам известны: площадь треугольника S и его сторона z, то по формуле площади S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, где h – это высота пирамиды, γ – это ребро треугольника; угол между сторонами треугольника и сами две стороны, то по такой формуле: S = (1/2)γφsinQ, где γ, φ – это стороны треугольника, находим площадь треугольника.

Значение синуса угла Q нужно посмотреть в таблице синусов, которая есть в Интернете. Далее подставляем значение площади в формулу высоты: h = (2S)/γ. Если в задании требуется вычислить высоту треугольной пирамиды, то объем пирамиды уже известен.

Правильная треугольная пирамида

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, то есть пирамиды, в которой все грани – это равносторонние треугольники, зная величину ребра γ. В этом случае ребра пирамиды – это стороны равносторонних треугольников. Высота правильной треугольной пирамиды будет: h = γ√(2/3), где γ – это ребро равностороннего треугольника, h – это высота пирамиды.

Если площадь основания (S) неизвестна, а даны лишь: длина ребра (γ) и объем (V) многогранника, то необходимую переменную в формуле из прежнего шага нужно заменить ее эквивалентом, который выражен через длину ребра. Площадь треугольника (правильного) равна 1/4 от произведения длины стороны этого треугольника, возведенную в квадрат на квадратный корень из 3.

Подставляем эту формулу вместо площади основания в предыдущую формулу, и получаем такую формулу: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Объем тетраэдра можно выразить через длину его ребра, то из формулы для вычисления высоты фигуры можно убрать все переменные и оставить только сторону треугольной грани фигуры.

Объем такой пирамиды можно вычислить, поделив на 12 из произведения возведенную в куб длину его грани на квадратный корень из 2.

Подставляем это выражение в предыдущую формулу, получаем такую формулу для вычисления: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Также правильную треугольную призму можно вписывать в сферу, и зная только радиус сферы (R) можно найти и саму высоту тетраэдра. Длина ребра тетраэдра равна: γ = 4R/√6.

Заменим переменную γ этим выражением в предыдущей формуле и получаем формулу: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Такую же формулу можно иметь, зная радиус (R) окружности, вписанной в тетраэдр. В таком случае длина ребра треугольника будет равна 12 соотношениям между квадратным корнем из 6 и радиусом.

Подставляем это выражение в предыдущую формулу и имеем: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Как найти высоту правильной четырехугольной пирамиды

Чтобы ответить на вопрос, как найти длину высоты пирамиды, необходимо знать, сто такое правильная пирамида. Четырехугольная пирамида – это пирамида, в основе которой находится четырехугольник.

Если в условиях задачи мы имеем: объем (V) и площадь основания (S) пирамиды, то формула для вычисления высоты многогранника (h) будет такая – разделить объем, умноженный на 3 на площадь S: h = (3V)/S.

При квадратном основании пирамиды с известными: заданным объемом (V) и длиной стороны γ, замените площадь (S) в предыдущей формуле на квадрат длины стороны: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Высота правильной пирамиды h = SO проходит как раз через центр окружности, которая описанная около основания.

Поскольку основание данной пирамиды – это квадрат, то точка О – это точка пересечения диагоналей AD и BC. Мы имеем: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Далее, мы в прямоугольном треугольнике SOC находим (по теореме Пифагора): SO = √(SC 2 -OC 2). Теперь Вы знаете, как найти высоту правильной пирамиды.

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами.

Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Источник: https://www.zflgu.ru/venerologiya/piramida-v-osnovanii-kotoroi-lezhit-kvadrat-formuly-i-svoistva-pravilnoi/

Правильная треугольная пирамида (правильная пирамида с треугольником в основании). Тетраэдр

Пирамида в основании которой лежит квадрат. Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды

Развернуть структуру обучения

структуру обучения

В этом уроке приведены определение и свойства правильной треугольной пирамиды и ее частного случая – тетраэдра (см. ниже). Ссылки на примеры решения задач приведены в конце урока.

Определение

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

На рисунке обозначены:
ABC – Основание пирамиды OS – Высота KS – Апофема OK – радиус окружности, вписанной в основание AO – радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды

SKO – двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).

Свойства правильной треугольной пирамиды:

  • боковые ребра правильной пирамиды равны
  • все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
  • в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
  • если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3  (пи делить на 3 или 60 градусов ).
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
  • вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан

Формулы для правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

где

V – объем правильной пирамиды, имеющей в основании правильный (равносторонний) треугольник h – высота пирамиды a – длина стороны основания пирамиды R – радиус описанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Поскольку правильная треугольная пирамида является частным случаем правильной пирамиды, то формулы, которые верны для правильной пирамиды, верны и для правильной треугольной – см. формулы для правильной пирамиды.

Примеры решения задач:

Тетраэдр

Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр.

Тетраэдр – это правильный многогранник (правильная треугольная пирамида) у которой все грани являются правильными треугольниками.

У тетраэдра:

  • Все грани равны
  • 4 грани, 4 вершины и 6 ребер
  • Все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

Медиана тетраэдра – это отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, противолежащего вершине)

Бимедиана тетраэдра – это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер (соединяющий середины сторон треугольника, являющегося одной из граней тетраэдра)

Высота тетраэдра – это отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани (то есть является высотой, проведенной от любой грани, также совпадает с центром описанной окружности).

Тетраэдр обладает следующими свойствами:

  • Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке
  • Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины
  • Эта точка делит бимедианы пополам

Площадь, объем, высота, радиус вписанной и описанной окружности и другие формулы для тетраэдра

См. пример задачи: формулы и свойства тетраэдра.

главы:

  • Периметр основания правильной треугольной пирамиды
  • Объем правильной треугольной пирамиды
  • Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды
  • Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды
  • Правильный тетраэдр (пирамида)
  • Пирамида и вписанный конус

0  

 Пирамида с равнобедренным треугольником в основании | Описание курса | Периметр основания правильной треугольной пирамиды 

Источник: https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter149/

Пирамида

Пирамида в основании которой лежит квадрат. Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды

Определение

Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника \(A_1A_2…A_n\) и \(n\) треугольников с общей вершиной \(P\) (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: \(PA_1A_2…A_n\).
Пример: пятиугольная пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\).

Треугольники \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки \(PA_1, PA_2\) и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основанием, точка \(P\) – вершиной.

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

\((a)\) боковые ребра пирамиды равны;

\((b)\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

\((c)\) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

\((d)\) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

Теорема

Условия \((a), (b), (c), (d)\) эквивалентны.

Доказательство

Проведем высоту пирамиды \(PH\). Пусть \(\alpha\) – плоскость основания пирамиды.

1) Докажем, что из \((a)\) следует \((b)\). Пусть \(PA_1=PA_2=PA_3=…=PA_n\).

Т.к. \(PH\perp \alpha\), то \(PH\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,…,PA_nH\) – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету \(PH\) и гипотенузам \(PA_1=PA_2=PA_3=…=PA_n\).

Значит, \(A_1H=A_2H=…=A_nH\). Значит, точки \(A_1, A_2, …, A_n\) находятся на одинаковом расстоянии от точки \(H\), следовательно, лежат на одной окружности с радиусом \(A_1H\). Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника \(A_1A_2…A_n\).

2) Докажем, что из \((b)\) следует \((c)\).

Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,…,PA_nH\) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=…=\angle PA_nH\).

3) Докажем, что из \((c)\) следует \((a)\).

Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,…,PA_nH\) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть \(PA_1=PA_2=PA_3=…=PA_n\).

4) Докажем, что из \((b)\) следует \((d)\).

Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то \(H\) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки \(H\) на стороны основания: \(HK_1,HK_2\) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению).

Тогда по ТТП (\(PH\) – перпендикуляр на плоскость, \(HK_1, HK_2\) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные \(PK_1, PK_2\) и т.д. перпендикулярны сторонам \(A_1A_2, A_2A_3\) и т.д. соответственно. Значит, по определению \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники \(PK_1H, PK_2H, …

\) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, …\) равны.

5) Докажем, что из \((d)\) следует \((b)\).

Аналогично четвертому пункту треугольники \(PK_1H, PK_2H, …\) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки \(HK_1=HK_2=…=HK_n\). Значит, по определению, \(H\) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то \(H\) – центр описанной окружности. Чтд.

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.  

Определение

Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть \(SR\) – высота.

2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно любой прямой из основания, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\) – прямоугольные треугольники.

3. Треугольники \(\triangle SRN, \triangle SRK\) – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным. 

\[{\Large{\text{Объем и площадь поверхности пирамиды}}}\]

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \[V_{\text{пирамиды}}=\dfrac13 S_{\text{осн}}\cdot h\]

Следствия

Пусть \(a\) – сторона основания, \(h\) – высота пирамиды.

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.треуг.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a2h\),

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.четыр.пир.}}=\dfrac13a2h\).

3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.шест.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{2}a2h\).

4. Объем правильного тетраэдра равен \(V_{\text{прав.тетр.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a3\).

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему. 

\[{\Large{\text{Усеченная пирамида}}}\]

Определение

Рассмотрим произвольную пирамиду \(PA_1A_2A_3…A_n\). Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида (\(PB_1B_2…B_n\)), а другой называется усеченная пирамида (\(A_1A_2…A_nB_1B_2…B_n\)).

Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники \(A_1A_2…A_n\) и \(B_1B_2…B_n\), которые подобны друг другу.

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.

Важные замечания

1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.

Источник: https://shkolkovo.net/theory/94

Пирамида. Подробная теория

Пирамида в основании которой лежит квадрат. Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое пирамида?

Как она выглядит?

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания. Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Высота пирамиды

Высота пирамидыперпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты. Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида

Правильнойназывается такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» – это понятно.

А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная: в основании – правильный шестиугольник, вершина   проецируется в центр основания.

Четырёхугольная: в основании – квадрат, вершина   проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная: в основании – правильный треугольник, вершина   проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Очень важные свойства правильной пирамиды:

В правильной пирамиде

  • все боковые рёбра равны.
  • все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

формула объема пирамиды:

Откуда взялась именно  ? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть  , а у  цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  . Нужно найти   и  .

  – это площадь правильного треугольника  .

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

 .

У нас « » – это  , а « » – это тоже  , а  .

Значит,  .

Теперь найдем  .

По теореме Пифагора для  

 .

Чему же равно  ? Это радиус описанной окружности в  , потому что пирамидаправильная и, значит,   – центр  .

Найдем   (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

 , так как   – точка пересечения и медиан тоже.

  (теорема Пифагора для  )

 ;  

Значит,  

Подставим   в формулу для  .

И подставим все в формулу объема:

 .

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.  ), то формула получается такой:

 .

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

 .

Здесь   и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому  .

Найдем  . По теореме Пифагора для  

 .

Известно ли нам  ? Ну, почти. Смотри:

  (это мы увидели, рассмотрев  ).

Подставляем   в формулу для  :

 ;

А теперь и   и   подставляем в формулу объема.

 .

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро  .

 .

Как найти  ? Смотри, шестиугольник   состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем   (это  ).

По теореме Пифагора для  

 ?

Но чему же равно  ? Это просто  , потому что   (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

Подставляем:

\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}{2}}\sqrt{{{b}{2}}-{{a}{2}}}

ПИРАМИДА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (боковые ребра).

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида – пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойство правильной пирамиды:

  • В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
  • Все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике, 

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений…

можно кликнув по этой ссылке.

Источник: https://youclever.org/book/piramida-1

Пирамида. Формулы и свойства пирамиды

Пирамида в основании которой лежит квадрат. Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды

Определение.

Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.

Рис.1

Определение. Боковая грань – это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра – это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема – это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение – это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида – это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n – это количество углов в основании пирамиды.

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) – это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции. Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) – это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол.

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида – это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием. Определение. Прямоугольная пирамида – это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида – это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида – это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр – четырехгранник у которого все четыре грани – равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание – правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида – многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/pyramid/

Консультант Кузнецов
Добавить комментарий