Множество значений показательной функции. Функции и графики

Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения

Множество значений показательной функции. Функции и графики

Зачастую в рамках решения задач нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, это нужно делать при решении разных типов неравенств, оценках выражений и др.

В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми ее можно вычислить, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графиками. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление об области значений функции.

Начнем с базовых определений.

Определение 1

Множество значений функции y = f(x) на некотором интервале x представляет собой множество всех значений, которые данная функция принимает при переборе всех значений x∈X.

Определение 2

Область значений функции y=f(x) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x∈(f).

Область значений некоторой функции принято обозначать E(f).

Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

 Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y=f(x). Область допустимых значений x для выражения f(x) и будет областью определения данной функции.

Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

Очевидно, что область значений функции можно получить при проецировании графика функции на ось Oy. При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.

Рассмотрим основные способы нахождения области значений функции.

Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f(x) на некотором отрезке, обозначенном [a; b].

Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего maxx∈a; bf(x) и наименьшего значения minx∈a; bf(x).

Значит, у нас получится отрезок minx∈a; bf(x); maxx∈a; bf(x), в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.

Пример 1

Условие: найдите область значений y = arcsin x.

Решение

В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.

y' = arcsin x'=11-x2

Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.

minx∈-1; 1arcsin x=arcsin-1=-π2maxx∈-1; 1arcsin x=arcsin 1=π2

Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=-π2; π2.

Ответ:  E(arcsin x)=-π2; π2

Пример 2

Условие: вычислите область значений y=x4-5×3+6×2 на заданном отрезке [1; 4].

Решение 

Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.

Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:

y'=x4-5×3+6×2'=4×3+15×2+12x=x4x2-15x+12y'=0⇔x(4×2-15x+12)=0x1=0∉1; 4 или 4×2-15x+12=0D=-152-4·4·12=33×2=15-338≈1.16∈1; 4; x3=15+338≈2.59∈1; 4

Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках x2=15-338; x3=15+338:

y(1)=14-5·13+6·12=2y15-338=15-3384-5·15-3383+6·15-3382==117+16533512≈2.08y15+338=15+3384-5·15+3383+6·15+3382==117-16533512≈-1.62y(4)=44-5·43+6·42=32

Значит, множество значений функции будет определяться отрезком 117-16533512; 32.

Ответ: 117-16533512; 32.

Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f(x) в промежутках (a; b), причем a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведении функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.

Пример 3

Условие: вычислите область значений функции y=1×2-4 на интервале (-2; 2).

Решение

Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

y'=1×2-4'=-2x(x2-4)2y'=0⇔-2x(x2-4)2=0⇔x=0∈(-2; 2)

У нас получилось максимальное значение, равное 0, поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:

То есть  y(0)=102-4=-14 будет максимальным значений функции.

Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к -2 с правой стороны и к +2 с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:

limx→-2+01×2-4=limx→-2+01(x-2)(x+2)==1-2+0-2-2+0+2=-14·1+0=-∞limx→2+01×2-4=limx→2+01(x-2)(x+2)==12-0-22-0+2=14·1-0=-∞

У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до -14 тогда, когда аргумент изменяется в пределах от -2 до 0. А когда аргумент меняется от 0 до 2, значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет (-∞; -14].

Ответ: (-∞; -14].

Пример 4

Условие: укажите множество значений y=tg x на заданном интервале -π2; π2.

Решение

Нам известно, что в общем случае производная тангенса в -π2; π2 будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:

limx→π2+0tg x=tg-π2+0=-∞limx→π2-0tg x=tgπ2-0=+∞

Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от -π2 до π2,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.

Ответ: -∞; +∞.

Пример 5

Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма y = ln x.

Решение

Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента D(y)=0; +∞. Производная на заданном интервале будет положительной: y'=ln x'=1x. Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к 0 (в правой  части), и когда x стремится к бесконечности:

limx→0+0ln x=ln(0+0)=-∞limx→∞ln x=ln+∞=+∞

Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.

Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.

Пример 6

Условие: определите, какова область значений функции y=9×2+1.

Решение

Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:

y'=9×2+1'=-18x(x2+1)2y'=0⇔x=0y'≤0⇔x≥0y'≥0⇔x≤0

В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если x≥0; возрастать, если x≤0; она имеет точку максимума y(0)=902+1=9 при переменной, равной 0.

Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:

limx→-∞9×2+1=9-∞2+1=9·1+∞=+0limx→+∞9×2+1=9+∞2+1=9·1+∞=+0

Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.

Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от 0 до 9. Когда значения аргумента меняются от 0 до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от 9 до 0. Мы отобразили это на рисунке:

На нем видно, что областью значений функции будет интервал E(y)=(0; 9]

Ответ: E(y)=(0; 9]

Если нам надо определить множество значений функции y = f(x) на промежутках [a; b), (a; b], [a; +∞), (-∞; b], то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.

А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.

Пример 7

Условие: определите, какова будет область значений y=xx-2.

Решение

Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в 0, то D(y)=-∞; 2∪2; +∞.

Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке -∞; 2, который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.

limx→2-0xx-2=2-02-0-2=2-0=-∞limx→-∞xx-2=limx→-∞x-2+2x-2=limx→-∞1+2x-2=1+2-∞-2=1-0

Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к 1.

Если же значения x меняются от минус бесконечности до 2, то значения будут убывать от 1 до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала -∞; 1.

Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.

Для открытого луча 2; +∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:

limx→2+0xx-2=2+02+0-2=2+0=+∞limx→+∞xx-2=limx→+∞x-2+2x-2=limx→+∞1+2x-2=1+2+∞-2=1+0

Значения функции на данном отрезке определяются множеством 1; +∞. Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств -∞; 1 и 1; +∞.

Ответ: E(y)=-∞; 1∪1; +∞.

Это можно увидеть на графике:

Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.

Пример 8

Условие: определите область значений синуса y = sin x.

Решение

Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0; 2π и смотрим, каким будет множество значений на нем.

y'=(sin x)'=cos xy'=0⇔cos x=0⇔x=π2+πk, k∈Z

В рамках 0; 2π у функции будут точки экстремума π2 и x=3π2. Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.

y(0)=sin 0=0yπ2=sin π2=1y3π2=sin3π2=-1y(2π)=sin(2π)=0⇔minx∈0; 2πsin x=sin3π2=-1, maxx∈0; 2πsin x=sinπ2=1

Ответ: E(sin x)=-1; 1.

Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях.

Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения. Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач.

Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.

Пример 9

Условие: определите область значения y=3arccosx3+5π7-4.

Решение

Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, E(arccos x)=0; π или 0≤arccos x≤π. Мы можем получить функцию arccosx3+5π7 из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси Ox, но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, 0≤arccosx3+5π7≤π.

Функция 3arccosx3+5π7 может быть получена из арккосинуса arccosx3+5π7 с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. 0≤3arccosx3+5π7≤3π. Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси Oy на 4 значения. В итоге получаем двойное неравенство:

0-4≤3arccosx3+5π7-4≤3π-4⇔-4≤3arccosx3+5π7-4≤3π-4

Мы получили, что нужная нам область значений будет равна E(y)=-4; 3π-4.

Ответ: E(y)=-4; 3π-4.

Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.

Пример 10

Условие: вычислите, какова будет область значений функции y=22x-1+3.

Решение

Перепишем функцию, заданную в условии, как y=2·(2x-1)-12+3. Для степенной функции y=x-12 область значений будет определена на промежутке 0; +∞, т.е. x-12>0. В таком случае:

2x-1-12>0⇒2·(2x-1)-12>0⇒2·(2x-1)-12+3>3

Значит, E(y)=3; +∞.

Ответ: E(y)=3; +∞.

Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.

Пример 11

Условие: дана функция y=2sinx2-4, x≤-3-1, -33. Вычислите область ее значений.

Решение

Данная функция является определенной для всех значений  x. Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных -3 и 3:

limx→-3-0f(x)=limx→-32sinx2-4=2sin-32-4=-2sin32-4limx→-3+0f(x)=limx→-3(1)=-1⇒limx→-3-0f(x)≠limx→-3+0f(x)

Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента -3. При приближении к нему значения функции стремятся к -2sin32-4, а при стремлении x к -3 с правой стороны значения будут стремиться к -1.

limx→3-0f(x)=limx→3-0(-1)=1limx→3+0f(x)=limx→3+01x-3=+∞

Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3. Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к -1, при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.

Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала (-∞; -3], (-3; 3], (3; +∞).

На первом из них у нас получилась функция y=2sinx2-4. Поскольку -1≤sin x≤1, получаем:

-1≤sinx2

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/oblast-znachenij-funktsii-mnozhestvo-znachenij-fun/

Показательная функция – свойства, графики, формулы

Множество значений показательной функции. Функции и графики

Приведены справочные данные по показательной функции – основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Показательная функция – это обобщение произведения n чисел, равных a:
y(n) = an = a·a·a···a,
на множество действительных чисел x:
y(x) = ax.
Здесь a – фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции.
Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a.

Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,…, показательная функция является произведением x множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (см. ниже ⇓), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10).

При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x: .
При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.

5-8), как и для натуральных x.

Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции».

Свойства показательной функции

Показательная функция y = ax, имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ():
(1.1)   определена и непрерывна, при , для всех ;
(1.2)   при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(1.

3)   строго возрастает при , строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4)     при ;
  при ;
(1.5)   ;
(1.6)   ;
(1.7)   ;
(1.8)   ;
(1.9)   ;
(1.

10)   ;
(1.11)   ,   .

Другие полезные формулы.
. Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
При b = e, получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Графики показательной функции

Графики показательной функции y = ax при различных значениях основания a.

На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8.

Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a, тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a, тем сильнее убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

y = ax, a > 1y = ax, 0 < a < 1
Область определения – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞
Область значений 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает
Нули, y = 0 нет нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0y = 1y = 1
+ ∞0
0+ ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a.

Если    ,   то
.
Если    ,   то
.

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e, применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных:
.

Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e:

Применим правило дифференцирования сложной функции. Для этого вводим переменную
Тогда
Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z):
.
Поскольку – это постоянная, то производная z по x равна
. По правилу дифференцирования сложной функции:

.

Производная показательной функции

. Производная n-го порядка:

.

Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 35x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e.
3 = e ln 3 Тогда

.

Вводим переменную

.

Тогда
Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 – это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.

Ответ

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
f(z) = a z
где z = x + iy;     i2 = – 1.
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ:
a = r e i φ Тогда

.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ0 + 2πn,
где n – целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.

Разложение в ряд

.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/pokazatelnaya/

Степенные, показательные, логарифмические функции, их свойства и графики

Множество значений показательной функции. Функции и графики

Технологическая карта теоретического занятия №65

ПД.01: Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Группа

Дата

320 «А»

321 «А»

322 «Р»

324 «СЭЗС»

325 «ПГ»

326 «ИСОГД»

2. Преподаватель Романова М. А.

3. Тема: Степенные, показательные, логарифмические функции, их свойства и графики.

4. Цели учебного занятия:

Дидактическая:

1. Познакомиться с понятием степенных, показательных и логарифмических функций, их свойствами

2. Научить работать со свойствами

Развивающая:

1. Развить представления о роли месте математики в современном мире

2. Развить навыки конспектирования по предмету

Воспитательная:

1. Воспитать интерес к математике

2.Воспитать стремление совер­шенствовать профессиональные навыки современного специалиста

3. Воспитать уверенность при освоении нового материала

5. Тип занятия: УИНМ;

6. Вид занятия: лекция;

7. Ресурсы:

1. Учебно-наглядные и натуральные пособия, раздаточный материал

2. Технические средства обучения доска (белая доска), мел (цветные маркеры)

3. Литература основная (учебники, конспекты лекций)

8. Учебные материалы:

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

3. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

9. Метод проведения: 1, 2.

Хронологическая карта занятия

Вступление, мотивация изучения темы:

– формулировка темы лекции, характеристика ее профессиональной значимости, новизны и степени изученности;

– постановка целей;

– изложение плана лекции, включающего основные вопросы, подлежащие рассмотрению;

– характеристика рекомендуемой литературы.

3

3.

Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция (вопросы, изученные на прошлой лекции, связь их с новым материалом).

2

4.

Основная часть лекции (изложение содержания в соответствии с планом).

75

5.

Обобщение и систематизация изученного материала.

3

6.

Подведение итогов.

5

Итого: 90 минут

Вступление, мотивация изучения темы:

Актуализация имеющихся знаний:

Класс степенных функций является одним из самых обширных и часть применяемых. Вы в школьной программе познакомились с линейной функцией, квадратичной и кубической параболой, гиперболой, квадратным корнем. Сегодня мы повторяем всё ранее изученное и останавливается на детельном изучении свойств степенной функции.

Основная часть лекции:

  1.  Пропорциональные величины. 

Если переменные  y  и   прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними  выражается уравнением:             

y  = k x ,                                          

где  k  – постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через 

начало координат и образующая с осью X  угол , тангенс которого равен :

tg  = k  ( рис.8 ).

Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3,  k = 1 и  k = -3 .

Линейная функция. Если переменные  y и x связаны уравнением 1-ой степени:

 A x + B y = C ,                  

где по крайней мере одно из чисел  A  или  B  не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае – нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

Обратная пропорциональность. Если переменные  y  и  x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k / x ,

где  k – постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). 

У этой кривой две ветви.  Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна  k, что следует из уравнения гиперболы:  xy= k.

Основные характеристики и свойства гиперболы:

       1. область определения функции:  x  0,  область значений:  y  0 ;

  2. функция монотонная ( убывающая ) при  x  0но не 

  монотонная в целом из-за точки разрыва  x = 0 ( подумайте, почему ? );

  3. функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, 

нечётная, непериодическая;

  4нулей функция не имеет.

4.

Квадратичная функция. Это функция:y = ax 2 + bx + c, где  a, b, c – постоянные,   0. В простейшем случае имеем:  = c = 0  и  y = ax 2.

График этой функции квадратная парабола – кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы.

Точка пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

График функцииy = ax 2 + bx + c – тоже квадратная парабола того же вида, что и  y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента  a  при  x2 и дискриминанта D: D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

  – область определения функции: –   0, так как а0 = 1.

Вследствие возрастания функции при а >1 получаем, что при х > 1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0

Если 01 (рис. 1, а) и 0

Источник: https://infourok.ru/stepennie-pokazatelnie-logarifmicheskie-funkcii-ih-svoystva-i-grafiki-2517744.html

Показательная функция, ее свойства и график. Начальные сведения. урок. Алгебра 11 Класс

Множество значений показательной функции. Функции и графики

Ранее мы изучали различные функции. Например, линейная функция  описывает прямолинейное движение. Квадратичная функция  описывает равноускоренное движение.

Теперь рассмотрим новую функцию, показательную – в ней основание степени постоянное число, а показатель изменяется: ; ; .

Пример

Масса  радиоактивного вещества в момент времени  равна:

где  – начальная масса образца;  – период полураспада.

Здесь мы видим, что основание степени постоянная величина, а показатель – переменная.

Скорость роста показательной функции иллюстрируется примерами с шахматами.

Мы изучаем показательную функцию , , , ее график называется экспонентой (рис. 1):

Рис. 1. Экспонента

Построить конкретную экспоненту, например  по точкам достаточно сложно, так как даже при  значение функции уже очень велико и элементарно не хватает листа бумаги, а при  значения слишком малы и график почти сливается с осью , очевидно, что с ростом аргумента данная функция резко возрастает, а с уменьшением – стремительно приближается к нулю, но не достигает его.

Так, при стремлении аргумента к бесконечности растет не только функция, но и скорость ее роста.

Задача о зернах на шахматной доске

По легенде мудрый изобретатель шахмат попросил у правителя награду: положить на первую клетку 1 зерно пшеницы, на вторую 2 зерна, то есть в два раза больше, на третью 4 и так далее, соответственно, на последнюю . Сколько зерна попросил мудрец?

Решение

Данное выражение вычислить затруднительно. Даже число , что уже является очень большим числом.

То есть если собрать зерна с первых 19 клеток, получится примерно один миллион зерен, что примерно помещается в литровом пакете от молока.

Но уже начиная со второй половины доски рост числа зерен столь стремителен, что их общее количество трудно представить.

Формально количество требуемых зерен есть геометрическая прогрессия:

; ;

Найдем ее сумму:

Такое число зерен просто огромно. Подсчитано, что это количество зерен превышает в 1800 раз мировой урожай пшеницы за 2008–2009 аграрный год, а он составил 686 млн тонн пшеницы.

Ответ: .

Можно представить, сколь малым является число .

Определение

Показательной называется функция вида , ; .

Основание показательной функции существенно влияет на ее график.

Рассмотрим семейство экспонент , ; .

Все экспоненты проходят через точку , так как  для любого :

Рис. 2. Фиксированная точка всех экспонент

Рассмотрим случай, когда . В этом случае функция возрастает, но скорость роста зависит от основания степени. Рассмотрим это на примере функций ; ; . Составим таблицы и постоим графики (рис. 3).

Рис. 3. Графики функций ,

Так, при :  и при : .

Пусть . Тогда .

Доказательство

Обе части неравенства неотрицательны, поделим на

Получено верное выражение, значит, и исходное выражение верно.

Пусть . Тогда .

Доказательство

Обе части неравенства неотрицательны, поделим на

Получено верное выражение, значит, и исходное выражение верно.

Рассмотрим случай, когда . В этом случае функция убывает, но скорость зависит от основания степени. Рассмотрим это на примере функций ; ; .

Отметим: ; ; .

Используем тот факт, что кривые  и  симметричны относительно оси :

Рис. 4. Графики функций ,

Так, чем меньше основание степени, тем быстрее рост функции, при стремлении  к минус бесконечности при отрицательных :

Если же  и стремится к плюс бесконечности, имеем:

Теперь рассмотрим область определения показательной функции. Для начала ограничимся множествами целых, а затем рациональных чисел.

Пример

,

Графиком будем множество точек вида .

Рис. 5. График функции ,

1. Данная функция монотонно возрастает, то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

Докажем этот факт. Обе части неравенства неотрицательны, разделим его на :

Получено истинное выражение, значит, и предположение было верным.

2. При  функция резко возрастает; при стремлении аргумента к минус бесконечности функция стремительно приближается к нулю, не достигая его.

3. Рассмотрим множество значений функции: это все числа вида , .

4. Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу нулем.

5. Функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Пример

,

Графиком будем множество точек вида . График изображен на рисунке 6 синим цветом. Его можно получить по точкам, а можно отобразить график функции  относительно оси ординат.

Рис. 6. График функции ,

1. При возрастании аргумента от минус до плюс бесконечности функция убывает от бесконечности до нуля, но нуля не достигает.

2. Рассмотрим множество значений функции: это все числа вида , .

3. Отметим, что функция не ограничена сверху, но ограничена снизу нулем.

4. Функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения.

Пример

,

Найти значение функции при .

Решение

Переведем периодичную дробь в обыкновенную.

Вычтем из второго выражения первое:

Требуется вычислить: .

Так, мы можем вычислить значение показательной функции для любого рационального числа. Графиком функции ,  будет множество точек вида , но эти точки так близко расположены, что нарисовать такой график невозможно.

Свойства данной функции аналогичны свойствам той же функции, когда аргумент принимал целочисленные значения.

Теперь рассмотрим функцию , .

Вспомним, что  – это такое иррациональное число, квадрат которого равен трем. Его нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Число  можно приближать меньшими рациональными числами следующим образом: ; ; ;

Для каждого из этих приближений мы можем вычислить значение функции .

Доказана сходимость первой последовательности к некоторому пределу, этот предел обозначили за . Вторая последовательность тоже сходится к некоторому пределу, обозначенному .

Так, аналогичным образом можно определить функцию  для любого действительного числа.

Свойства степени с рациональным показателем

Важно учитывать: ; .

Рассмотрим функцию , ; ,

Графики (рис. 7):

Рис. 7. Графики функций , ; ,

,

,

1. Когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля до плюс бесконечности. Так:

область определения ;

область значений .

2. Не имеет наибольшего и наименьшего значений.

3. Не ограничена сверху; ограничена снизу нулем.

4. Выпукла вниз.

5. Монотонно возрастает на всей ОДЗ.

1. Когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от плюс бесконечности до нуля. Так:

область определения

область значений .

2. Не имеет наибольшего и наименьшего значений.

3. Не ограничена сверху; ограничена снизу нулем.

4. Выпукла вниз.

5. Монотонно убывает на всей ОДЗ.

Рассмотрим показательную функцию в общем виде , ,  при  и .

В первом случае график и свойства схожи с функцией , во втором – с функцией .

Итак, мы познакомились с показательной функцией, рассмотрели график и свойства в общем и частных случаях.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт 1cov-edu.ru/ (Источник)

2. Интернет-сайт formula-xyz.ru (Источник)

3. Интернет-сайт uztest.ru (Источник)

Домашнее задание

Построить графики функций и описать их свойства:

1. ; ;

2. ; ;

3. ; ;

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/pokazatelnaya-funktsiya-ee-svoystva-i-grafik-nachalnye-svedeniya

Консультант Кузнецов
Добавить комментарий