Конус его основание образующая высота. Как найти образующую конуса

Образующая конуса. Длина образующей конуса

Конус его основание образующая высота. Как найти образующую конуса

Геометрия является разделом математики, изучающим структуры в пространстве и отношение между ними. В свою очередь она также состоит из разделов, и одним из них является стереометрия. Она предусматривает изучение свойств объемных фигур, находящихся в пространстве: куба, пирамиды, шара, конуса, цилиндра и др.

Конус – это тело в евклидовом пространстве, которое ограничивает коническая поверхность и плоскость, на которой лежат концы ее образующих. Его образование происходит в процессе вращения прямоугольного треугольника вокруг любого из его катетов, поэтому он относится к телам вращения.

Составляющие конуса

Различают следующие виды конусов: косой (или наклонный) и прямой. Косым называется тот, ось которого пересекается с центром его основания не под прямым углом. По этой причине высота в таком конусе не совпадает с осью, так как она является отрезком, который опущен из вершины тела на плоскость его основания под углом 90°.

Тот конус, ось которого расположена перпендикулярно к его основанию, называется прямым. Ось и высота в таком геометрическом теле совпадают по причине того, что вершина в нем расположена над центром диаметра основания.

Конус состоит из следующих элементов:

  1. Круга, являющегося его основанием.
  2. Боковой поверхности.
  3. Точки, не лежащей в плоскости основания, называющейся вершиной конуса.
  4. Отрезков, которые соединяют точки круга основания геометрического тела и его вершину.

Все эти отрезки являются образующими конуса. Они наклонные к основанию геометрического тела, и в случае прямого конуса их проекции равны, так как вершина равноотдалена от точек круга основания. Таким образом, можно сделать вывод, что в правильном (прямом) конусе образующие равны, то есть имеют одинаковую длину и образуют одинаковые углы с осью (или высотой) и основанием.

Так как в косом (или наклонном) теле вращения вершина смещена по отношению к центру плоскости основания, образующие в таком теле имеют разную длину и проекцию, поскольку каждая из них находится на разном расстоянии от двух любых точек круга основания. Кроме того, углы между ними и высотой конуса также будут отличаться.

Длина образующих в прямом конусе

Как написано ранее, высота в прямом геометрическом теле вращения перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, образующая, высота и радиус основания создают в конусе прямоугольный треугольник.

То есть, зная радиус основания и высоту, при помощи формулы из теоремы Пифагора, можно вычислить длину образующей, которая будет равна сумме квадратов радиуса основания и высоты:

l2 = r2+ h2 или l = √r2 + h2

где l – образующая;

r – радиус;

h – высота.

Образующая в наклонном конусе

Исходя из того, что в косом, или наклонном конусе образующие имеют не одинаковую длину, рассчитать их без дополнительных построений и вычислений не получится.

Прежде всего необходимо знать высоту, длину оси и радиус основания.

Имея эти данные, можно рассчитать часть радиуса, лежащую между осью и высотой, по формуле из теоремы Пифагора:

r1= √k2 – h2

где r1 – это часть радиуса между осью и высотой;

k – длина оси;

h – высота.

В результате сложения радиуса (r) и его части, лежащей между осью и высотой (r1), можно узнать полную сторону прямоугольного треугольника, сформированного образующей конуса, его высотой и частью диаметра:

R = r + r1

где R – катет треугольника, образованного высотой, образующей и частью диаметра основания;

r – радиус основания;

r1 – часть радиуса между осью и высотой.

Пользуясь все той же формулой из теоремы Пифагора, можно найти длину образующей конуса:

l = √h2+ R2

или, не производя отдельно расчет R, объединить две формулы в одну:

l = √h2 + (r + r1)2.

Несмотря на то, прямой или косой конус и какие вводные данные, все способы нахождения длины образующей всегда сводятся к одному итогу – использованию теоремы Пифагора.

Сечение конуса

Осевым сечением конуса называется плоскость, проходящая по его оси либо высоте.

В прямом конусе такое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором высотой треугольника является высота тела, его сторонами выступают образующие, а основание – это диаметр основания.

В равностороннем геометрическом теле осевое сечение является равносторонним треугольником, так как в этом конусе диаметр основания и образующие равны.

Плоскость осевого сечения в прямом конусе является плоскостью его симметрии. Причиной этому служит то, что его вершина находится над центром его основания, то есть плоскость осевого сечения делит конус на две одинаковые части.

Так как в наклонном объемном теле высота и ось не совпадают, плоскость осевого сечения может не включать в себя высоту.

Если осевых сечений в таком конусе можно построить множество, так как для этого необходимо соблюдать лишь одно условие – оно должно проходить только через ось, то осевое сечение плоскости, которому будет принадлежать высота этого конуса, можно провести лишь одно, потому что количество условий увеличивается, а, как известно, две прямые (вместе) могут принадлежать только одной плоскости.

Площадь сечения

Упомянутое ранее осевое сечение конуса представляет собой треугольник. Исходя из этого, его площадь можно рассчитать по формуле площади треугольника:

S = 1/2 * d * h или S = 1/2 * 2r * h

где S – это площадь сечения;

d – диаметр основания;

r – радиус;

h – высота.

В косом, или наклонном конусе сечение по оси также является треугольником, поэтому в нем площадь сечения рассчитывается аналогично.

Объем

Поскольку конус является объемной фигурой в трехмерном пространстве, то можно вычислить его объем. Объемом конуса называется число, которое характеризует это тело в единице измерения объема, то есть в м3. Расчет не зависит от того, прямой он или косой (наклонный), так как формулы для двух этих видов тел не отличаются.

Как указано ранее, образование прямого конуса происходит вследствие вращения прямоугольного треугольника по одному из его катетов. Наклонный же, или косой конус образуется иначе, поскольку его высота смещена в сторону от центра плоскости основания тела. Тем не менее такие отличия в строении не влияют на методику расчета его объема.

Формула объема любого конуса выглядит следующим образом:

V = 1/3 * π * h * r2

где V – это объем конуса;

h – высота;

r – радиус;

π – константа, равная 3,14.

Для того чтобы рассчитать обьем конуса, необходимо иметь данные о высоте и радиусе основания тела.

Для расчета высоты тела необходимо знать радиус основания и длину его образующей.

Поскольку радиус, высота и образующая объединяются в прямоугольный треугольник, то высоту можно рассчитать по формуле из теоремы Пифагора (a2+ b2= c2 или в нашем случае h2+ r2= l2, где l – образующая).

Высота при этом будет рассчитываться путем извлечения квадратного корня из разности квадратов гипотенузы и другого катета:

a = √c2- b2

То есть высота конуса будет равна величине, полученной после извлечения квадратного корня из разности квадрата длины образующей и квадрата радиуса основания:

h = √l2 – r2

Рассчитав таким методом высоту и зная радиус его основания, можно вычислить объем конуса. Образующая при этом играет важную роль, так как служит вспомогательным элементом в расчетах.

Аналогичным образом, если известна высота тела и длина его образующей, можно узнать радиус его основания, извлекая квадратный корень из разности квадрата образующей и квадрата высоты:

r = √l2 – h2

После чего по той же формуле, что указана выше, рассчитать объем конуса.

Объем наклонного конуса

Так как формула объема конуса одинакова для всех видов тела вращения, отличие в его расчете составляет поиск высоты.

Для того чтобы узнать высоту наклонного конуса, вводные данные должны включать длину образующей, радиус основания и расстояние между центром основания и местом пересечения высоты тела с плоскостью его основания.

Зная это, можно с легкостью рассчитать ту часть диаметра основания, которая будет являться основанием прямоугольного треугольника (образованного высотой, образующей и плоскостью основания).

После чего, снова используя теорему Пифагора, произвести расчет высоты конуса, а впоследствии и его объема.

Источник: https://FB.ru/article/437929/obrazuyuschaya-konusa-dlina-obrazuyuschey-konusa

08. Конус

Конус его основание образующая высота. Как найти образующую конуса

Елена Репина 2013-09-11 2019-08-08

Cмотрите также 1 (куб, параллелепипед), 2 (призма, призма II), 3 (пирамида, пирамида II), 4 (составные многогранники, составные многогранники II), 5 (цилиндр+конус), 6 (цилиндр), 8 (шар).

Разбираем стереометрические задачи части В, которые могут встретится на ЕГЭ по математике

Сегодня в задачах – конус. Находим объем конуса, площадь поверхности.

Задача 1. 

Высота конуса равна 12, образующая равна 14. Найдите его объем, деленный на .

Решение: + показать

Объем конуса вычисляется по формуле .

Находим радиус основания по т. Пифагора:

Тогда

Откуда

Ответ: 208.  

Задача 2

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника  вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

Решение:   + показать

В качестве высоты конуса выступает катет треугольника, равный 6. В качестве радиуса основания конуса – второй катет треугольника, равны также 6.

Поэтому

Тогда

Ответ: 72.  

Задача 3. 

Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:  + показать

Площадь боковой поверхности конуса есть , где – радиус основания конуса и образующая конуса.

А поскольку длина окружности основания конуса равна и равна 5 по условию, то

Ответ: 20.  

Задача 4. 

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 9 раз?

Решение:  + показать

Площадь боковой поверхности конуса зависит от двух величин – от и , так как ( – радиус, образующая конуса).

Радиус не изменяется, а образующая увеличивается в 9 раз. Значит и площадь боковой поверхности конуса увеличится в 9 раз.

Ответ: 9.  

Задача 5. 

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Решение:  + показать

Согласно условию ( – радиус основания конуса, образующая конуса). Откуда 

Прямоугольный треугольник, образованный высотой, образующей и радиусом основания таков, что катет вдвое меньше гипотенузы, значит угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

Ответ: 60.  

Задача 6. 

Площадь полной поверхности конуса равна 148. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Решение:  + показать

Вообще говоря, достаточно сказать, что малый конус подобен исходному с коэффициентом подобия 1:2. Поэтому площади поверхностей будут находится в отношении 1:4.

Значит, площадь полной поверхности отсеченного конуса есть

Можно и так:

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле

 Пусть – радиус основания и образующая исходного конуса.

Тогда

Проведем образующую . Образовавшиеся прямоугольные треугольники и – подобны. Коэффициент подобия  – 2. То есть

Наконец,  площадь поверхности отсеченного конуса есть

Ответ: 37.  

Задача 7.

Найдите объем конуса, образующая которого равна 11 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите .

Решение:  + показать

, где (так как напротив угла 30° лежит катет, вдвое меньший гипотенузы ())  и .

Поэтому Откуда

Ответ: 166,375.  

Задача 8.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 6 раз?

Решение:  + показать

– объем конуса.

Если высоту уменьшаем в 6 раз, то и объем уменьшается в 6 раз.

Ответ: 6.  

Задача 9.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 4,5 раза?

Решение:  + показать

– объем конуса.

Если увеличить радиус в 4,5 раза, то  объем увеличивается в раз.

Ответ: 20,25.  

Задача 10.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 45.

Решение:  + показать

Объем цилиндра равен , а объем конуса с тем же радиусом основания и той же высотой равен .

Если объем цилиндра равен 45, то объем конуса равен 15.

Ответ: 15.  

Задача 11.

Диаметр основания конуса равен 66, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Решение:  + показать

Для того, чтобы найти объем, нам нужно найти  радиус основания и  высоту конуса (так как ).

Треугольник , образованный диаметром и соответствующими образующими, – прямоугольный и равнобедренный.

Середина гипотенузы является центром описанной окружности около треугольника . А значит . Поэтому, так как диаметр основания равен 66, то

Наконец,

Откуда

Ответ: 11979.  

Задача 12.

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 5. Найдите его объем, деленный на .

Решение:  + показать

Объем конуса есть (где – радиус основания конуса, высота конуса).

Высота известна,  найдем радиус основания конуса:

В основании пирамиды – квадрат. Пусть диагонали пересекаются в точке

Из  прямоугольного (диагонали квадрата перпендикулярны) треугольника  :

где

Откуда

Тогда

Наконец,

Ответ: 7,5.  

Задача 13.

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение:  + показать

Высоты обоих конусов одинаковы. Поэтому  отношение объемов конусов будет зависеть только от отношения  радиусов оснований конусов (а точнее, – от отношения квадратов радиусов оснований конусов).

Выясним, в каком отношении находятся между собой и :

Из равнобедренного (, так как диагонали квадрата являются биссектрисами углов) прямоугольного треугольника (см. рис):

Тогда

А значит, отношение объемов конусов таково:

Ответ: 2.  

Задача 14.

Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение:  + показать

Часть конуса, изображенная на рисунке – это часть конуса с радиусом основания 9 и высотой 13.

Поэтому

Откуда

Ответ: 87,75.  

Задача 15.

Найдите объем  части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение:  + показать

Часть конуса, изображенная на рисунке – это часть конуса с радиусом основания 18 и высотой 39.

Поэтому

Откуда

Ответ: 3510.  

Задача 16.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 156. Найдите объем конуса.

Решение:  + показать

Объем шара есть По условию объем шара равен 156, поэтому откуда

Объем же конуса с  радиусом основания и высотой есть

Ответ: 39.  

Задача 17.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение:  + показать

I способ. Объем жидкости равен объему занимаемой части конуса.

Поэтому (высота уровня жидкости – если высота конуса равна ; – радиус основания конуса, чей объем занимает жидкость, т.к. треугольники и подобны и коэффициент подобия  – 2 (см. рис.)).

Отсюда

Объем же конуса есть  

Значит долить нужно миллилитров.

II способ. Можно рассуждать и так:

Отсеченный конус, образовавшийся при пересечении исходного конуса плоскостью параллельной основанию и пересекающей высоту конуса посередине, подобен исходному с коэффициентом подобия 1:2.

Значит, объем исходного конуса есть объемов отсеченного конуса (объемы подобных тел находятся в отношении , где – коэффициент подобия). Стало быть, на усеченный конус приходится объемов отсеченного (малого) конуса.

То есть объем усеченного конуса  (а значит объем жидкости, что нужно долить) есть

Ответ: 378.  

Рассмотрено много задач. Пора и передохнуть… А потом – за тест!

–>+ показать

Вы можете пройти тест по Задачам №8, конус.

egeMax |

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Печать страницы

Источник: https://egemaximum.ru/zadaniya-12-konus/

Конус. Формулы, признаки и свойства конуса

Конус его основание образующая высота. Как найти образующую конуса

Определение.

Конус — это геометрическое тело, которое образовано совокупностью всех лучей, исходящих из точки и пересекающих любую плоскую поверхность. В месте пересечения образуется основание конуса.

Определение. Вершина конуса – это точка (K), из которой исходят лучи.

Определение. Основание конуса – это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.

Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.

Формула. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):

L2 = R2 + H2

Определение. Направляющая конуса – это кривая, которая описывает контур основания конуса.

Определение. Боковая поверхность конуса – это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.

Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.

Определение. Высота конуса (H) – это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.

Определение. Ось конуса (a) – это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.

Определение. Конусность (С) конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса – это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними: где C – конусность, D – диаметр основания, d – диаметр меньшего основания и h – расстояние между основаниями.

Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:

где R – радиус основы, а H – высота конуса. Определение. Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника – это диаметр основания конуса. Определение. Касательная плоскость к конусу – это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.

Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).

Определение. Прямой конус – это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой. Формула. Объём кругового конуса: где R – радиус основы, а H – высота конуса. Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:

Sb = πRL

Формула. Общая площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:

Sp = πRL + πR2

Определение. Косой (наклонный) конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой. Формула. Объём любого конуса: где S – площадь основы, а H – высота конуса. Определение. Усеченный конус – это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе. Формула. Объём усеченного конуса: где S1 и S2 – площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h – расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.

1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.

2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус.

3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус.

4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус)

5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3).

6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4).

7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).

8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/cone/

Консультант Кузнецов
Добавить комментарий