Как вычисляется корень. Считаем без калькулятора

Егэ по математике – без ошибок и без калькулятора – материалы для подготовки к егэ по математике

Как вычисляется корень. Считаем без калькулятора

Вы хотите хорошо сдать ЕГЭ по математике? Тогда вам необходимо уметь считать быстро, правильно и без калькулятора. Ведь главная причина потери баллов на ЕГЭ по математике – вычислительные ошибки.

По правилам проведения ЕГЭ, пользоваться калькулятором на экзамене по математике запрещается. Цена может быть слишком высокой – удаление с экзамена.

На самом деле калькулятор на ЕГЭ по математике не нужен. Все задачи решаются без него. Главное – внимание, аккуратность и некоторые секретные приемы, о которых мы расскажем.

. Начнем с главного правила. Если какое-то вычисление можно упростить – упростите его.

Вот, например, такое «дьявольское уравнение»:

Семьдесят процентов выпускников решают его «в лоб». Считают дискриминант по формуле , после чего говорят, что корень невозможно извлечь без калькулятора. Но ведь можно разделить левую и правую части уравнения на . Получится

Какой способ проще? 🙂

. Многие школьники не любят умножение в «столбик». Никому не нравилось в четвертом классе решать скучные «примеры». Однако перемножить числа во многих случаях можно и без «столбика», в строчку. Это намного быстрее.

Обратите внимание, что мы начинаем не с меньших разрядов, а с бoльших. Это удобно.

. Теперь – деление. Нелегко «в столбик» разделить на . Но вспомним, что знак деления : и дробная черта – одно и то же. Запишем в виде дроби и сократим дробь:

Другой пример.

. Как быстро и без всяких столбиков возвести в квадрат двузначное число? Применяем формулы сокращенного умножения:

Иногда удобно использовать и другую формулу:

. Числа, оканчивающиеся на , в квадрат возводятся моментально.

Допустим, надо найти квадрат числа ( – не обязательно цифра, любое натуральное число). Умножаем на и к результату приписываем . Всё!

Например:   ( и приписали ).

  ( и приписали ).

  ( и приписали ).

Этот способ полезен не только для возведения в квадрат, но для извлечения квадратного корня из чисел, оканчивающихся на .

. А как вообще извлечь квадратный корень без калькулятора? Покажем два способа.

Первый способ – разложение подкоренного выражения на множители.

Например, найдем
Число делится на (так как сумма его цифр делится на ). Разложим на множители:

Найдем . Это число делится на . На оно тоже делится. Раскладываем на множители.

Еще пример.

Есть и второй способ. Он удобен, если число, из которого надо извлечь корень, никак не получается разложить на множители.

Например, надо найти . Число под корнем – нечетное, оно не делится на , не делится на , не делится на … Можно и дальше искать, на что же оно все-таки делится, а можно поступить проще – найти этот корень подбором.

Очевидно, что в квадрат возводили двузначное число, которое находится между числами и , поскольку , , а число находится между ними. Первую цифру в ответе мы уже знаем, это .

Последняя цифра в числе равна . Поскольку ,   , последняя цифра в ответе – либо , либо . Проверим:
. Получилось!

Найдем .

,   . Значит, первая цифра в ответе – пятерка.

В числе последняя цифра – девятка. ,   . Значит, последняя цифра в ответе – либо , либо .

Проверим:

Если число, из которого надо извлечь квадратный корень, заканчивается на или – значит, квадратный корень из него будет числом иррациональным. Потому что ни один квадрат целого числа не заканчивается на или . Помните, что в задачах части 1 вариантов ЕГЭ по математике ответ должен быть записан в виде целого числа или конечной десятичной дроби, то есть должен являться рациональным числом.

. Квадратные уравнения встречаются нам в самых разнообразных задачах ЕГЭ. В них нужно считать дискриминант, а затем извлекать из него корень. И совсем не обязательно искать корни из пятизначных чисел. Во многих случаях дискриминант удается разложить на множители.

Например, в уравнении

. Иногда дискриминант удается посчитать по известной формуле сокращенного умножения: . Вот, например, такое уравнение вполне может получиться при решении текстовой задачи:

. Еще одна ситуация, в которой выражение под корнем можно разложить на множители, взята из задачи по планиметрии.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна , один из катетов равен , найти второй катет.

По теореме Пифагора, он равен . Можно долго считать в столбик, но проще применить формулу сокращенного умножения.

А теперь расскажем самое интересное – из-за чего все-таки выпускники теряют на ЕГЭ драгоценные баллы. Ведь ошибки в вычислениях возникают не просто так.

1. Верный путь к потере баллов – неаккуратные вычисления, в которых что-то исправлено, зачеркнуто, одна цифра написана поверх другой. Посмотрите на свои черновики. Возможно, они выглядят так же? 🙂

Пишите разборчиво! Не экономьте бумагу. Если что-то неправильно – не исправляйте одну цифру на другую, лучше напишите заново.

2. Почему-то многие школьники, считая в столбик, стараются сделать это 1) очень-очень быстро, 2) очень мелкими цифрами, в уголке тетради и 3) карандашом. В результате получается вот что:

Разобрать что-либо невозможно. Что ж тогда удивляться, что оценка за ЕГЭ ниже, чем ожидали?

3. Многие школьники привыкли игнорировать скобки в выражениях. Иногда встречается и такое:

Помните, что знак равенства ставится не где попало, а только между равными величинами. Пишите грамотно, даже на черновике.

4. Огромное количество вычислительных ошибок связано с дробями. Если вы делите дробь на дробь – пользуйтесь тем, что
Здесь нарисован «гамбургер», то есть многоэтажная дробь. Крайне сложно при таком способе получить правильный ответ.

Подведем итоги.

Проверка заданий первой части профильного ЕГЭ по математике – автоматическая. Здесь не бывает «почти правильного» ответа. Либо он правилен, либо нет. Одна вычислительная ошибка – и привет, задача не засчитывается. Поэтому в ваших интересах научиться считать быстро, правильно и без калькулятора.

Задания второй части профильного ЕГЭ по математике проверяет эксперт. Позаботьтесь о нем! Пусть ему будет понятен и ваш почерк, и логика решения.

Самое главное – ваши вычисления должны быть максимально простыми. Есть известный принцип, применяемый в программировании и дизайне. По-английски он звучит так: «Keep it simple, stupid!» и легко запоминается как KISS 🙂

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/bystryj-schet-bez-kalkulyatora-i-bez-vychislitelnyx-oshibok/

Как считать быстро и без калькулятора

Как вычисляется корень. Считаем без калькулятора

≡  29 Октябрь 2015

В данной статье мы предлагаем вам подборку простых математических приёмов, многие из которых довольно актуальны в жизни и позволяют считать быстрее.
“Чистая математика является в своём роде поэзией логической идеи”.
Альберт Эйнштейн

Быстрое вычисление процентов

Пожалуй, в эпоху кредитов и рассрочек наиболее актуальным математическим навыком можно назвать виртуозное вычисление процентов в уме. Самым быстрым способом вычислить определённый процент от числа является умножение данного процента на это число с последующим отбрасыванием двух последних цифр в получившемся результате, ведь процент есть не что иное, как одна сотая доля.

Сколько составляют 20% от 70? 70 × 20 = 1400. Отбрасываем две цифры и получаем 14. При перестановке множителей произведение не меняется, и если вы попробуете вычислить 70% от 20, то ответ также будет 14.

Данный способ очень прост в случае с круглыми числами, но что делать, если надо посчитать, к примеру, процент от числа 72 или 29? В такой ситуации придётся пожертвовать точностью ради скорости и округлить число (в нашем примере 72 округляется до 70, а 29 до 30), после чего воспользоваться тем же приёмом с умножением и отбрасыванием двух последних цифр.

Быстрая проверка делимости

Можно ли поровну поделить 408 конфет между 12 детьми? Ответить на этот вопрос легко и без помощи калькулятора, если вспомнить простые признаки делимости, которые нам преподавали ещё в школе.

• Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.

• Число делится на 3, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 3. Например, возьмём число 501, представим его как 5 + 0 + 1 = 6. 6 делится на 3, а значит, и само число 501 делится на 3.

• Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Например, берём 2 340. Последние две цифры образуют число 40, которое делится на 4.

• Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

• Число делится на 6, если оно делится на 2 и 3.

• Число делится на 9, если сумма цифр, из которых состоит число, делится на 9. Например, возьмём число 6 390, представим его как 6 + 3 + 9 + 0 = 18. 18 делится на 9, а значит, и само число 6 390 делится на 9.

• Число делится на 12, если оно делится на 3 и 4.

Быстрое вычисление квадратного корня

Квадратный корень из 4 равен 2. Это посчитает любой. А как насчёт квадратного корня из 85?

Для быстрого приблизительного решения находим ближайшее к заданному квадратное число, в данном случае это 81 = 92.

Теперь находим следующий ближайший квадрат. В данном случае это 100 = 102.

Корень квадратный из 85 находится где-то в интервале между 9 и 10, а поскольку 85 ближе к 81, чем к 100, то квадратный корень этого числа будет 9 с чем-то.

Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент удвоится

Хотите быстро узнать время, которое потребуется, чтобы ваш денежный вклад с определённой процентной ставкой удвоился? Тут также не нужен калькулятор, достаточно знать «правило 72».

Делим число 72 на нашу процентную ставку, после чего получаем приблизительный срок, через который вклад удвоится.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 14 с небольшим лет, чтобы он удвоился.

Почему именно 72 (иногда берут 70 или 69) ? Как это работает? На эти вопросы развёрнуто ответит «Википедия».

Быстрое вычисление времени, через которое денежный вклад под определённый процент утроится

В данном случае процентная ставка по вкладу должна стать делителем числа 115.

Если вклад сделан под 5% годовых, то потребуется 23 года, чтобы он утроился.

Быстрое вычисление почасовой ставки

Представьте, что вы проходите собеседования с двумя работодателями, которые не называют оклад в привычном формате «рублей в месяц», а говорят о годовых окладах и почасовой оплате. Как быстро посчитать, где платят больше? Там, где годовой оклад составляет 360 000 рублей, или там, где платят 200 рублей в час?

Для расчёта оплаты одного часа работы при озвучивании годового оклада необходимо отбросить от названной суммы три последних знака, после чего разделить получившееся число на 2.

360 000 превращается в 360 ÷ 2 = 180 рублей в час. При прочих равных условиях получается, что второе предложение лучше.

Продвинутая математика на пальцах

Ваши пальцы способны на гораздо большее, нежели простые операции сложения и вычитания.

С помощью пальцев можно легко умножать на 9, если вы вдруг забыли таблицу умножения.

Пронумеруем пальцы на руках слева направо от 1 до 10.

Если мы хотим умножить 9 на 5, то загибаем пятый палец слева.

Теперь смотрим на руки. Получается четыре несогнутых пальца до согнутого. Они обозначают десятки. И пять несогнутых пальцев после согнутого. Они обозначают единицы. Ответ: 45.

Если мы хотим умножить 9 на 6, то загибаем шестой палец слева. Получим пять несогнутых пальцев до согнутого пальца и четыре после. Ответ: 54.

Таким образом можно воспроизвести весь столбик умножения на 9.

Быстрое умножение на 4

Существует чрезвычайно лёгкий способ молниеносного умножения даже больших чисел на 4. Для этого достаточно разложить операцию на два действия, умножив искомое число на 2, а затем ещё раз на 2.

Посмотрите сами. Умножить 1 223 сразу на 4 в уме сможет не каждый. А теперь делаем 1223 × 2 = 2446 и далее 2446 × 2 = 4892. Так гораздо проще.

Быстрое определение необходимого минимума

Представьте, что вы проходите серию из пяти тестов, для успешной сдачи которых вам необходим минимальный балл 92. Остался последний тест, а по предыдущим результаты таковы: 81, 98, 90, 93. Как вычислить необходимый минимум, который нужно получить в последнем тесте?

Для этого считаем, сколько баллов мы недобрали/перебрали в уже пройденных тестах, обозначая недобор отрицательными числами, а результаты с запасом — положительными.

Итак, 81 − 92 = −11; 98 − 92 = 6; 90 − 92 = −2; 93 − 92 = 1.

Сложив эти числа, получаем корректировку для необходимого минимума: −11 + 6 − 2 + 1 = −6.

Получается дефицит в 6 баллов, а значит, необходимый минимум увеличивается: 92 + 6 = 98. Дела плохи. 🙁

Быстрое представление значения обыкновенной дроби

Примерное значение обыкновенной дроби можно очень быстро представить в виде десятичной дроби, если предварительно приводить её к простым и понятным соотношениям: 1/4,1/3, 1/2 и 3/4.

К примеру, у нас есть дробь 28/77, что очень близко к 28/84 = 1/3, но поскольку мы увеличили знаменатель, то изначальное число будет несколько больше, то есть чуть больше, чем 0,33.

Трюк с угадыванием цифры

Можно немного поиграть в Дэвида Блэйна и удивить друзей интересным, но очень простым математическим трюком.

Попросите друга загадать любое целое число.

Пусть он умножит его на 2.

Затем прибавит к получившемуся числу 9.

Теперь пусть отнимет 3 от получившегося числа.

А теперь пусть разделит получившееся число пополам (оно в любом случае разделится без остатка).

Наконец, попросите его вычесть из получившегося числа то число, которое он загадал в начале.

Ответ всегда будет 3.

Да, очень тупо, но часто эффект превосходит все ожидания.

вычисления • интересно • как быстро • полезное • советы • способы • цифры

Источник: http://oppps.ru/kak-schitat-bystro-i-bez-kalkulyatora.html

Вычислить квадратный корень из числа: примеры, расчеты, калькулятор

Как вычисляется корень. Считаем без калькулятора

Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

  • найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
  • выполнить математическое действие с дробными степенями.

Как вычислять квадратный корень вручную —методом подбора находить подходящие значения. Рассмотрим, как это делать.

Что такое квадратный корень

Корень n степени натурального числа a — число, n степень которого равна a (подкоренное число). Обозначается корень символом √. Его называют радикалом.

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

Например:

25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:

Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило

Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.

Ответ. 

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки.Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4.

Значит

между 2 и 4.

Оцениваем значениеВероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7.

2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76~7.

Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так:

— целую часть справа налево;

— число после запятой слева направо.

Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94

795,28 → 7 95, 28

Допускается, что вначале остается непарное число.

Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел).

Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.

У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 = 

Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7.

А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.

Примечание: числа должны быть одинаковыми.

Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.
Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня.

Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.

Вычтите полученное справа произведение из числа слева.

Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.

Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую.

Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.

Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение  прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

Алгоритм действий

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.

4. Нажмите кнопку «Решить».

Вычисление самых сложных математических действий с онлайн калькулятором станет простым! Экономьте время и проводите расчеты с CALCON.RU.

Источник: https://calcon.ru/koren-iz-chisla/

Консультант Кузнецов
Добавить комментарий