Как найти угловой коэффициент.

Угловой коэффициент прямой (и не только)!

Как найти угловой коэффициент.

  Угловой коэффициент прямой. В этой статье мы с вами рассмотрим задачи связанные с координатной плоскостью включённые в ЕГЭ по математике. Это задания на:

— определение углового коэффициента прямой, когда известны две точки через которые она проходит;
— определение абсциссы или ординаты точки пересечения двух прямых на плоскости.

Что такое абсцисса и ордината точки было описано в прошлой статье данной рубрики. В ней мы уже рассмотрели несколько задач связанных с координатной плоскостью. Что необходимо понимать для рассматриваемого типа задач? Немного теории.

Уравнение прямой на координатной плоскости имеет вид:

где k – это и есть угловой коэффициент прямой.

Следующий момент! Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это угол между данной прямой и осью ох.

Он лежит в пределах от 0 до 180 градусов.

То есть, если мы приведём уравнение прямой к виду y = kx + b, то далее всегда сможем определить коэффициент k (угловой коэффициент).

Так же, если мы исходя из условия сможем определить тангенс угла наклона прямой, то тем самым найдём её угловой коэффициент.

Следующий теоретический момент! Уравнение прямой походящей через две данные точки. Формула имеет вид:

Подробнее об этой формуле рассказано в этой статье!

Рассмотрим задачи (аналогичные задачам из открытого банка заданий):

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–6;0) и (0;6).

В данной задаче самый рациональный путь решения это найти тангенс угла между осью ох и данной прямой. Известно, что он равен угловому коэффициенту. Рассмотрим прямоугольный треугольник образованный прямой и осями ох и оу:

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике является отношение противолежащего катета к прилежащему:

*Оба катета равны шести (это их длины).

Конечно, данную задачу можно решить используя формулу нахождения уравнения прямой проходящей через две данные точки. Но это будет более длительный путь решения.

Ответ: 1

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (5;0) и (0;5).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки  имеют координаты (5;0) и (0;5). Значит,

Приведём формулу к виду  y = kx + b   

Получили, что угловой коэффициент  k = – 1.

Ответ: –1

Прямая a проходит через точки с координатами (0;6) и (8;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;10) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.

В данной задаче можно найти уравнение прямой a, определить угловой коэффициент для неё. У прямой b угловой коэффициент будет такой же, так как они параллельны. Далее можно найти уравнение прямой b. А затем, подставив в него значение y = 0, найти абсциссу. НО!

В данном случае, проще использовать свойство подобия треугольников.

Прямоугольные треугольники, образованные данными (параллельными) прямыми о осями координат подобны, а это значит, что отношения их соответствующих сторон равны.

Искомая абсцисса равна 40/3.

Ответ: 40/3

Прямая a проходит через точки с координатами (0;8) и (–12;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –12) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью оx.

Для данной задачи самый рациональный путь решения — это применение свойства подобия треугольников. Но мы решим её другим путём.

Нам известны точки, через которые проходит прямая а. Можем составить уравнение прямой. Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

По условию точки  имеют координаты (0;8) и (–12;0). Значит,

Приведём к виду   y = kx + b:

Получили, что угловой  k = 2/3.

*Угловой коэффициент можно было найти через тангенс угла в прямоугольном треугольнике с катетами 8 и 12.

Известно, у параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Значит уравнение прямой проходящей через точку (0;-12) имеет вид:

Найти величину b  мы можем подставив абсциссу и ординату в уравнение:

Таким образом, прямая имеет вид:

Теперь чтобы найти искомую абсциссу точки пересечения прямой с осью ох, необходимо подставить у = 0:

Ответ: 18

Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку В(10;12) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку А(10;24).

Найдём уравнение прямой проходящей через точки с координатами (0;0) и (10;24).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки  имеют координаты (0;0) и (10;24). Значит,

Приведём к виду   y = kx + b   

Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Значит, уравнение прямой, проходящей через точку В(10;12) имеет вид:

Значение b  найдём подставив в это уравнение координаты точки В(10;12):

Получили уравнение прямой:

Чтобы найти ординату точки пересечения этой прямой с осью оу  нужно подставить в найденное уравнение х = 0:

*Самый простой способ решения. При помощи параллельного  переноса сдвигаем данную прямую вниз вдоль оси оу до точки (10;12). Сдвиг происходит на 12 единиц, то есть точка А(10;24) «перешла» в точку В(10;12), а точка О(0;0) «перешла» в точку (0;–12). Значит, полученная прямая будет пересекать ось оу в точке (0;–12).

Искомая ордината равна  –12.

Ответ: –12

Найдите ординату точки пересечения прямой, заданной уравнением 

3х + 2у = 6, с осью Oy.

Координата точки пересечения заданной прямой с осью оу имеет вид (0;у). Подставим в уравнение абсциссу х = 0, и найдём ординату:

Ордината  точки пересечения прямой с осью оу равна 3.

*Решается система:

Ответ: 3

Найдите ординату точки пересечения прямых, заданных уравнениями 

3х + 2у = 6   и  у = – х.

Когда заданны две прямые, и стоит вопрос о нахождении координат точки пересечения этих прямых, решается система из данных уравнений:

В первом уравнении подставляем    – х   вместо у:

Ордината равна минус шести.

Ответ: – 6

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (–2;0) и (0;2).

Посмотреть решение

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2;0) и (0;2).

Посмотреть решение

Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Посмотреть решение

Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (–6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; –6) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Посмотреть решение

Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку B (6;4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A (6;8).

Посмотреть решение

Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением 2х + 2у = 6, с осью ох.

Посмотреть решение

Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями 3х + 2у = 6  и у = х.

Посмотреть решение

Конечно, некоторые задачи, которые мы рассмотрели можно было решить более рациональными способами. Но ставилась цель показать разные подходы к решению. Надеюсь, это удалось.

1. Необходимо чётко усвоить, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой. Это поможет вам при решении многих задач данного типа.

2. Формулу нахождения прямой проходящей через две данные точки нужно понимать обязательно. С её помощью всегда найдёте уравнение прямой, если даны координаты двух её точек.

3. Помните о том, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны.

4. Как вы поняли, в некоторых задачах удобно использовать признак подобия треугольников. Задачи решаются практически устно.

5. Задачи в которых даны две прямые и требуется найти абсциссу или ординату точки их пересечения можно решить графическим способом. То есть, построить их на координатной плоскости (на листе в клетку) и определить точку пересечения визуально. *Но этот способ применим не всегда.

6. И последнее. Если дана прямая и координаты точек её пересечения с осями координат, то в таких задачах удобно находить угловой коэффициент через нахождение тангенса угла в образованном прямоугольном треугольнике. Как «увидеть» этот треугольник при различных расположениях прямых на плоскости схематично показано ниже:

>> Угол наклона прямой от 0 до 90 градусов Угол наклона прямой от 90 до 180 градусов

Источник: https://matematikalegko.ru/koordinatnaya-ploskost/uglovoj-koefficient-pryamoj-i-ne-tolko.html

Уравнение прямой с угловым коэффициентом – теория, примеры, решение задач

Как найти угловой коэффициент.
Прямая, плоскость, их уравнения

Продолжаем изучение темы уравнение прямой на плоскости. Знакомство с уравнением прямой линии начинается на уроках алгебры в средней школе. Там мы изучаем так называемое уравнение прямой с угловым коэффициентом. В этой статье обобщена информация по этой теме.

Сначала даны определения, необходимые для описания уравнения прямой с угловым коэффициентом. Далее получен вид уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку на плоскости. После этого показана связь между уравнением прямой с угловым коэффициентом и другими видами уравнения этой прямой.

В заключении подробно разобраны решения характерных задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Прежде чем записать уравнение прямой с угловым коэффициентом дадим определения угла наклона прямой к оси Ox и углового коэффициента. Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy.

Угол наклона прямой к оси Ox в фиксированной прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости – это угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох до прямой против хода часовой стрелки.

Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол ее наклона считают равным нулю. Таким образом, угол наклона прямой может принимать значения из интервала .

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой.

Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k. Тогда по определению .

Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент не существует (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент обращается в бесконечность).

Положительный угловой коэффициент прямой указывает на возрастание ее графика функции, отрицательный угловой коэффициент – на убывание. Этой теме посвящена статья нахождение промежутков возрастания и убывания функции.

На рисунке показан угол наклона прямой и указано значение углового коэффициента при различных вариантах расположения прямой относительно прямоугольной системы координат.

Нахождение углового коэффициента прямой при известном угле наклона к оси Ox не представляет никаких сложностей. Для этого достаточно вспомнить определение углового коэффициента и вычислить тангенс угла наклона.

Найдите угловой коэффициент прямой, если угол ее наклона к оси абсцисс равен .

По условию . Тогда по определению углового коэффициента прямой вычисляем .

Задача нахождения угла наклона прямой к оси абсцисс при известном угловом коэффициенте немного сложнее. Здесь необходимо учитывать знак углового коэффициента. При угол наклона прямой является острым и находится как . При угол наклона прямой является тупым и его можно определить по формуле .

Определите угол наклона прямой к оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен 3.

Так как по условию угловой коэффициент положителен, то угол наклона прямой к оси Ox острый. Его вычисляем по формуле .

Угловой коэффициент прямой равен . Определите угол наклона прямой к оси Ox.

Обозначим k – угловой коэффициент прямой, – угол наклона этой прямой к положительному направлению оси Ox. Так как , то используем формулу для нахождения угла наклона прямой следующего вида . Подставляем в нее данные из условия: .

К началу страницы

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где k – угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

Давайте разберемся со смыслом фразы: «прямая на плоскости в фиксированной системе координат задана уравнением с угловым коэффициентом вида ».

Это означает, что уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точкек плоскости.

Таким образом, если при подстановке координат точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом получается верное равенство, то прямая проходит через эту точку. В противном случае точка не лежит на прямой.

Прямая задана уравнением с угловым коэффициентом . Принадлежат ли точки и этой прямой?

Подставим координаты точки в исходное уравнение прямой с угловым коэффициентом: . Мы получили верное равенство, следовательно, точка М1 лежит на прямой.

При подстановке координат точки получаем неверное равенство: . Таким образом, точка М2 не лежит на прямой.

точка М1 принадлежит прямой, М2 – не принадлежит.

Следует отметить, что прямая, определенная уравнением прямой с угловым коэффициентом , проходит через точку , так как при подстановке ее координат в уравнение мы получаем верное равенство: .

Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом определяет на плоскости прямую, проходящую через точку и образующую угол с положительным направлением оси абсцисс, причем .

В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением прямой с угловым коэффициентом вида . Эта прямая проходит через точку и имеет наклон радиан (60 градусов) к положительному направлению оси Ox. Ее угловой коэффициент равен .

К началу страницы

Сейчас решим очень важную задачу: получим уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящую через точку .

Так как прямая проходит через точку , то справедливо равенство . Число b нам неизвестно.

Чтобы избавиться от него, вычтем из левой и правой частей уравнения прямой с угловым коэффициентом соответственно левую и правую части последнего равенства. При этом получим .

Это равенство представляет собой уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k, которая проходит через заданную точку .

Рассмотрим пример.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку , угловой коэффициент этой прямой равен -2.

Из условия имеем . Тогда уравнение прямой с угловым коэффициентом примет вид .

Напишите уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку и угол наклона к положительному направлению оси Ox равен .

Сначала вычислим угловой коэффициент прямой, уравнение которой мы ищем (такую задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи). По определению . Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы записать уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящую через точку параллельно прямой .

Очевидно, что углы наклона параллельных прямых к оси Ox совпадают (при необходимости смотрите статью параллельность прямых), следовательно, угловые коэффициенты у параллельных прямых равны.

Тогда угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам нужно получить, равен 2, так как угловой коэффициент прямой равен 2.

Теперь мы можем составить требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом:

К началу страницы

При всей привычности уравнение прямой с угловым коэффициентом далеко не всегда удобно использовать при решении задач. В некоторых случаях задачи проще решаются, когда уравнение прямой представлено в другом виде.

К примеру, уравнение прямой с угловым коэффициентом не позволяет сразу записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора прямой.

Поэтому следует научиться переходить от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения этой прямой.

Из уравнения прямой с угловым коэффициентом легко получить каноническое уравнение прямой на плоскости вида . Для этого из правой части уравнения переносим слагаемое b в левую часть с противоположным знаком, затем делим обе части полученного равенства на угловой коэффициент k: . Эти действия приводят нас от уравнения прямой с угловым коэффициентом к каноническому уравнению прямой.

Приведите уравнение прямой с угловым коэффициентом к каноническому виду.

Выполним необходимые преобразования: .

Хорошо видно, что общее уравнение прямой легко получить из уравнения прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого нужно выполнить следующее действие . Далее от общего уравнения прямой можно перейти к уравнениям прямой другого вида. Эту процедуру Вы можете посмотреть в разделе теории приведение общего уравнения прямой к уравнениям этой прямой другого вида.

Прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом . Является ли вектор нормальным вектором этой прямой?

Для решения этой задачи перейдем от уравнения прямой с угловым коэффициентом к общему уравнению этой прямой: .

Нам известно, что коэффициенты перед переменными x и y в общем уравнении прямой являются соответствующими координатами нормального вектора этой прямой, то есть, – нормальный вектор прямой .

Очевидно, что вектор коллинеарен вектору , так как справедливо соотношение (при необходимости смотрите статью условие коллинеарности векторов). Таким образом, исходный вектор также является нормальным вектором прямой , а, следовательно, является нормальным вектором и исходной прямой .

А сейчас будем решать обратную задачу – задачу приведения уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

От общего уравнения прямой вида , в котором , очень легко перейти к уравнению с угловым коэффициентом. Для этого нужно общее уравнение прямой разрешить относительно y. При этом получаем . Полученное равенство представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным .

Дано уравнение прямой . Получите уравнение этой прямой с угловым коэффициентом.

Разрешим исходное уравнение относительно y, тем самым получим уравнение прямой с угловым коэффициентом: .

Аналогично, разрешив уравнение прямой в отрезках или каноническое уравнение прямой относительно переменной y, мы получим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Вот схема необходимых действий для приведения уравнения прямой в отрезках к уравнению прямой с угловым коэффициентом
.

А следующая схема поясняет приведение канонического уравнения прямой к уравнению прямой с угловым коэффициентом

На плоскости задана прямая уравнением . Приведите это уравнение к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

Оставим в левой части исходного уравнения только слагаемое с переменной y, остальные перенесем в правую часть с противоположным знаком: . Умножив обе части полученного равенства на -3 получаем требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом: .

Приведите уравнение прямой к уравнению с угловым коэффициентом.

Пропорция представляет собой равенство . Разрешим его относительно y, тем самым получим искомое уравнение прямой с угловым коэффициентом: .

Параметрические уравнения прямой вида сначала следует привести к каноническому уравнению прямой (подобный пример показан в разделе переход от параметрических уравнений прямой к другим видам уравнения этой прямой), а уже потом можно переходить к уравнению этой прямой с угловым коэффициентом.

Найдите угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими уравнениями .

Если перейти от заданный параметрических уравнений прямой к уравнению этой прямой с угловым коэффициентом, то мы сразу получим значение углового коэффициента.

Выполним переход.

Для этого получим сначала каноническое уравнение исходной прямой: .

Теперь разрешим полученное равенство относительно y и получим нужное уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Таким образом, угловой коэффициент прямой равен двум.

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/slope_intercept_equation_of_line.html

Консультант Кузнецов
Добавить комментарий