Что такое механические волны в физике. Волны

4.2.Механические волны

Что такое механические волны в физике. Волны

§1.7. Механические волны

Распространяющиесяв пространстве колебания вещества илиполя называются волной. Колебаниявещества порождают упругие волны(частный случай – звук).

Механическаяволна– это распространение колебаний частицсреды с течением времени.

Волныв сплошной среде распространяютсявследствие взаимодействия междучастицами. Если какая-либо частицаприходит в колебательное движение, то,вследствие упругой связи, это движениепередается соседним частицам, и волнараспространяется. При этом самиколеблющиеся частицы не перемещаютсявместе с волной, а колеблютсяоколо своих положенийравновесия.

Продольныеволны– это такие волны, в которых направлениеколебаний частиц xсовпадает с направлением распространенияволны .Продольные волны распространяются вгазах, жидкостях и твердых телах.

Поперечныеволны –это такие волны, в которых направлениеколебаний частиц перпендикулярнонаправлению распространения волны .Поперечные волны распространяютсятолько в твердых средах.

Волныобладают двоякой периодичностью – вовремени и в пространстве.Периодичность во времени означает, чтокаждая частица среды колеблется околосвоего положения равновесия, и этодвижение повторяется с периодом колебанийT.Периодичность в пространстве означает,что колебательное движение частиц средыповторяется через определенные расстояниямежду ними.

Периодичностьволнового процесса в пространствехарактеризует величина, называемаядлиной волны и обозначаемая .

Длинаволны – это расстояние, на котороераспространяется волна в среде за времяодного периода колебаний частицы .

Отсюда,где – период колебаний частиц, – частота колебаний, – скорость распространения волны,зависящая от свойств среды.

Какзаписать уравнение волны? Пусть кусочекшнура расположенный в точке О (источникволны) совершает колебания, происходящиепо закону косинуса

.

Пустьточка некоторая В находится на расстояниих от источника (точки О). длятого чтобы волна, распространяющаясясо скоростью v,дошла до нее требуется время .Это означает, что в точке В колебанияначнутся позже на .То есть .После подстановки в это уравнениевыражения для и ряда математических преобразований,получим

,.Введем обозначение: .Тогда .В силу произвольности выбора точки Вэто уравнение и будет искомым уравнениемплоской волны .

Выражение,стоящее под знаком косинуса называетсяфазой волны .

Еслидве точки находятся на различныхрасстояниях от источника волны, то фазыих будут различны. Например, фазы точекВ и С, находящихся на расстояниях и от источника волны, будут соответственноравны

Разностьфаз колебаний, происходящих в точке Ви в точке С обозначим и она будет равна

.

Втаких случаях говорят, что междуколебаниями, происходящими в точках Ви С имеется сдвиг по фазе Δφ. Говорят,что колебания в точках В и С происходятв фазе, если .Если ,то колебания в точках В и С происходятв противофазе. Во всех остальных случаях– просто имеется сдвиг по фазе.

Понятие«длина волны» можно определить и иначе:

  • длина волны – это минимальное расстояние между частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе
  • расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в фазе, называется длиной волны .

.

Поэтомуkназывают волновым числом.

Мыввели обозначение и показали, что .Тогда

.

Длинаволны – это путь, проходимый волной заодин период колебания.

Определимдва важных в волновой теории понятия.

Волноваяповерхность– это геометрическое место точек среды,колеблющихся в одинаковой фазе. Волновуюповерхность можно провести через любуюточку среды, следовательно, их бесконечномного.

Волновыеповерхности могут быть любой формы, ав простейшем случае они представляютсобой совокупность плоскостей (еслиисточник волн – бесконечная плоскость),параллельных друг другу, или совокупностьконцентрических сфер (если источникволн точечный).

Фронтволны(волновой фронт) – геометрическое местоточек, до которых доходят колебания кмоменту времени .Фронт волны отделяет часть пространства,вовлеченную в волновой процесс, отобласти, где колебания еще не возникли.Следовательно, волновой фронт – этоодна из волновых поверхностей. Онразделяет две области: 1 – до которойдошла волна к моменту времени t,2 – не дошла.

Волновойфронт в каждый момент времени толькоодин, и он все время перемещается, тогдакак волновые поверхности остаютсянеподвижными (они проходят черезположения равновесия частиц, колеблющихсяв одинаковой фазе).

Плоскаяволна– это такая волна, у которой волновыеповерхности (и фронт волны) являютсяпараллельными плоскостями.

Сферическаяволна– это такая волна, у которой волновыеповерхности являются концентрическимисферами. Уравнение сферической волны:.

Каждаяточка среды, до которой дошли две илиболее волн, будет принимать участие вколебаниях, вызванных каждой волной вотдельности. А каким будет результирующееколебание? Это зависит от ряда факторов,в частности от свойств среды.

Еслисвойства среды не изменяются из-запроцесса распространения волн, то среданазывается линейной. Опыт показывает,что в линейной среде волны распространяютсянезависимо друг от друга. Мы будемрассматривать волны только в линейныхсредах.

А каким будет колебание точки,до которой дошли две волны одновременно?Для ответа на этот вопрос необходимопонять как найти амплитуду и фазуколебания, вызванного этим двойнымвоздействием.

Для определения амплитудыи фазы результирующего колебаниянеобходимо найти смещения, вызванныекаждой волной, а затем их сложить. Как?Геометрически!

Принципсуперпозиции (наложения) волн: прираспространении в линейной среденескольких волн каждая из нихраспространяется так, как будто другиеволны отсутствуют, а результирующеесмещение частицы среды в любой моментвремени равно геометрической суммесмещений, которые получают частицы,участвуя в каждом из слагающих волновыхпроцессов.

Важнымпонятием волновой теории являетсяпонятие когерентность– согласованное протекание во времении в пространстве нескольких колебательныхили волновых процессов.Если разность фаз волн, приходящих вточку наблюдения не зависит от времени,то такие волны называются когерентными.Очевидно, что когерентными могут бытьлишь волны, имеющие одинаковую частоту.

Рассмотрим,каким будет результат сложения двухкогерентных волн, приходящих в некоторуюточку пространства (точку наблюдения)В.

Для того, чтобы упростить математическиерасчеты будем считать, что волны, которыеизлучаются источниками S1и S2имеют одинаковую амплитуду и начальныефазы равные нулю.

В точке наблюдения (вточке В) волны, приходящие от источниковS1и S2будут вызывать колебания частиц среды:и .Результирующее колебание в точке Внайдем как сумму .

Обычноамплитуду и фазу результирующегоколебания, возникающего в точкенаблюдения, находят с помощью методавекторных диаграмм, представляя каждоеколебание в виде вектора, вращающегосяс угловой скоростью ω.

Длина вектораравна амплитуде колебания. Первоначальноэтот вектор образует с выбраннымнаправлением угол равный начальнойфазе колебаний. Тогда амплитударезультирующего колебания определяетсяпо формуле .

Длянашего случая сложения двух колебанийс амплитудами ,и фазами ,

.

Следовательно,амплитуда колебаний, возникающих вточке В, зависит от того, какова разностьпутей ,проходимых каждой волной в отдельностиот источника до точки наблюдения (– разность хода волн, приходящих в точкунаблюдения). Интерференционные минимумыили максимумы могут наблюдаться в техточках, для которых .А это уравнение гиперболы с фокусами вточках S1и S2.

Втех точках пространства, для которых,амплитуда возникающих колебаний будетмаксимальна и равна .Так как ,то амплитуда колебаний будет максимальнав тех точках, для которых .

втех точках пространства, для которых,амплитуда возникающих колебаний будетминимальна и равна .амплитудаколебаний будет минимальна в тех точках,для которых .

Явлениеперераспределения энергии, возникающеев результате сложения конечного числакогерентных волн, называется интерференцией.

Явлениеогибания волнами препятствий называетсядифракцией.

Иногдадифракцией называют любое отклонениераспространения волн вблизи препятствийот законов геометрической оптики (еслиразмеры препятствий соизмеримы с длинойволны).

Благодарядифракции волны могут попадать в областьгеометрической тени, огибать препятствия,проникать через небольшие отверстия вэкранах и т.д.

Как объяснить попаданиеволн в область геометрической тени?Объяснить явление дифракции можно спомощью принципа Гюйгенса: каждая точка,до которой доходит волна, являетсяисточником вторичных волн (в однороднойсреде сферических), а огибающая этихволн задает положение волнового фронтав следующий момент времени.

Вставкаиз интерференции света посмотреть чтоможет пригодиться

Волнойназывается процесс распространенияколебаний в пространстве.

Волноваяповерхность– это геометрическое место точек, вкоторых колебания совершаются водинаковой фазе.

Фронтомволныназывается геометрическое место точек,до которых волна доходит к определенномумоменту времени t.Фронт волны отделяет часть пространства,вовлеченную в волновой процесс, от тойобласти, где колебания еще не возникли.

Дляточечного источника фронт волныпредставляет собой сферическуюповерхность с центром в точке расположенияисточника S.1, 2,3– волновые поверхности; 1– фронт волны.

Уравнение сферическойволны, распространяющейся вдоль луча,исходящего от источника: .

Здесь – скорость распространения волны, – длина волны; А– амплитуда колебаний; – круговая (циклическая) частота колебаний;- смещение от положения равновесияточки, находящейся на расстоянии rот точечного источника, в момент времениt.

Плоскаяволна– это волна с плоским волновым фронтом.Уравнение плоской волны, распространяющейсявдоль положительного направления осиy: ,где x– смещение от положения равновесияточки, находящейся на расстоянии yот источника, в момент времени t.

Источник: https://studfile.net/preview/2865552/

Механические волны. Звук. Длина, период колебания. – материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике

Что такое механические волны в физике. Волны

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: механические волны, длина волны, звук.

Механические волны – это процесс распространения в пространстве колебаний частиц упругой среды (твёрдой, жидкой или газообразной).

Наличие у среды упругих свойств является необходимым условием распространения волн: деформация, возникающая в каком-либо месте, благодаря взаимодействию соседних частиц последовательно передаётся от одной точки среды к другой. Различным типам деформаций будут соответствовать разные типы волн.

Продольные и поперечные волны

Волна называется продольной, если частицы среды колеблются параллельно направлению распространения волны. Продольная волна состоит из чередующихся деформаций растяжения и сжатия. На рис.

1 показана продольная волна, представляющая собой колебания плоских слоёв среды; направление, вдоль которого колеблются слои, совпадает с направлением распространения волны (т. е.

перпендикулярно слоям).

Рис. 1. Продольная волна

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. Поперечная волна вызывается деформациями сдвига одного слоя среды относительно другого. На рис. 2 каждый слой колеблется вдоль самого себя, а волна идёт перпендикулярно слоям.

Рис. 2. Поперечная волна

Продольные волны могут распространяться в твёрдых телах, жидкостях и газах: во всех этих средах возникает упругая реакция на сжатие, в результате которой появятся бегущие друг за другом сжатия и разрежения среды.

Однако жидкости и газы, в отличие от твёрдых тел, не обладают упругостью по отношению к сдвигу слоёв. Поэтому поперечные волны могут распространяться в твёрдых телах, но не внутри жидкостей и газов*.

Важно отметить, что частицы среды при прохождении волны совершают колебания вблизи неизменных положений равновесия, т. е. в среднем остаются на своих местах. Волна, таким образом, осуществляет
перенос энергии, не сопровождающийся переносом вещества.

Наиболее просты для изучения гармонические волны. Они вызываются внешним воздействием на среду, меняющимся по гармоническому закону. При распространении гармонической волны частицы среды совершают гармонические колебания с частотой, равной частоте внешнего воздействия. Гармоническими волнами мы в дальнейшем и ограничимся.

Рассмотрим процесс распространения волны более подробно. Допустим, что некоторая частица среды (частица ) начала совершать колебания с периодом . Действуя на соседнюю частицу она потянет её за собой. Частица в свою очередь, потянет за собой частицу и т. д. Так возникнет волна, в которой все частицы будут совершать колебания с периодом .

Однако частицы имеют массу, т. е. обладают инертностью. На изменение их скорости требуется некоторое время. Следовательно, частица в своём движении будет несколько отставать от частицы , частица будет отставать от частицы и т. д. Когда частица пустя время завершит первое колебание и начнёт второе, своё первое колебание начнёт частица , находящаяся от частицы на некотором расстоянии .

Итак, за время, равное периоду колебаний частиц, возмущение среды распространяется на расстояние . Это расстояние называется длиной волны. Колебания частицы будут идентичны колебаниям частицы колебания следующей частицы будут идентичны колебаниям частицы и т.

д. Колебания как бы воспроизводят себя на расстоянии можно назвать пространственным периодом колебаний; наряду с временным периодом она является важнейшей характеристикой волнового процесса.

В продольной волне длина волны равна расстоянию между соседними сжатиями или разрежениями (рис. 1). В поперечной – расстоянию между соседними горбами или впадинами (рис. 2).

Вообще, длина волны равна расстоянию (вдоль направления распространения волны) между двумя ближайшими частицами среды, колеблющимися одинаково (т. е. с разностью фаз, равной ).

Скоростью распространения волны называется отношение длины волны к периоду колебаний частиц среды:

.

Частотой волны называется частота колебаний частиц:

.

Отсюда получаем связь скорости волны, длины волны и частоты:

. (1)

На поверхности жидкости могут существовать волны особого типа, похожие на поперечные – так называемые поверхностные волны. Они возникают под действием силы тяжести и силы поверхностного натяжения.

Звук

Звуковыми волнами в широком смысле называются всякие волны, распространяющиеся в упругой среде. В узком смысле звуком называют звуковые волны в диапазоне частот от 16 Гц до 20 кГц, воспринимаемые человеческим ухом. Ниже этого диапазона лежит область инфразвука, выше – область ультразвука.

К основным характеристикам звука относятся громкость и высота.
Громкость звука определяется амплитудой колебаний давления в звуковой волне и измеряется в специальных единицах -децибелах (дБ). Так, громкость 0 дБ является порогом слышимости, 10 дБ – тиканье часов, 50 дБ – обычный разговор, 80 дБ – крик, 130 дБ – верхняя граница слышимости (так называемый болевой порог).

Тон – это звук, который издаёт тело, совершающее гармонические колебания (например, камертон или струна). Высота тона определяется частотой этих колебаний: чем выше частота, тем выше нам кажется звук. Так, натягивая струну, мы увеличиваем частоту её колебаний и, соответственно, высоту звука.

Скорость звука в разных средах различна: чем более упругой является среда, тем быстрее в ней распространяется звук. В жидкостях скорость звука больше, чем в газах, а в твёрдых телах – больше, чем в жидкостях.
Например, скорость звука в воздухе при равна примерно 340 м/с (её удобно запомнить как “треть километра в секунду”)*.

В воде звук распространяется со скоростью около 1500 м/с, а в стали – около 5000 м/с.
Заметим, что частота звука от данного источника во всех средах одна и та же: частицы среды совершают вынужденные колебания с частотой источника звука.

Согласно формуле (1) заключаем тогда, что при переходе из одной среды в другую наряду со скоростью звука изменяется длина звуковой волны.

Если хочешь найти расстояние до грозовых туч в километрах, посчитай, через сколько секунд после молнии придёт гром, и раздели полученное число на три.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/mexanicheskie-volny/

Механические волны

Что такое механические волны в физике. Волны

Когда в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды происходит возбуждение колебаний частиц, результатом взаимодействия атомов и молекул среды становится передача колебаний от одной точки к другой с конечной скоростью.

Определение 1

Волна – это процесс распространения колебаний в среде.

Виды механических волн

Различают следующие виды механических волн:

Определение 2

Поперечная волна: частицы среды смещаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения механической волны.

Пример: волны, распространяющиеся по струне или резиновому жгуту в натяжении (рисунок 2.6.1);

Определение 3

Продольная волна: частицы среды смещаются в направлении распространения механической волны.

Пример: волны, распространяющиеся в газе или упругом стержне (рисунок 2.6.2).

Интересно, что волны на поверхности жидкости включают в себя и поперечную, и продольную компоненты.

Замечание 1

Укажем важное уточнение: когда механические волны распространяются, они переносят энергию, форму, но не переносят массу, т.е.

в обоих видах волн переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. Распространяясь, частицы среды совершают колебания около положений равновесия.

При этом, как мы уже сказали, волны переносят энергию, а именно энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Рисунок 2.6.1. Распространение поперечной волны по резиновому жгуту в натяжении.

Рисунок 2.6.2. Распространение продольной волны по упругому стержню.

Модель твердого тела

Характерная черта механических волн – их распространение в материальных средах в отличие, например, от световых волн, способных распространяться и в пустоте. Для возникновения механического волнового импульса необходима среда, имеющая возможность запасать кинетическую и потенциальную энергии: т.е.

среда должна иметь инертные и упругие свойства. В реальных средах эти свойства получают распределение по всему объему. К примеру, каждому небольшому элементу твердого тела присуща масса и упругость. Самая простая одномерная модель такого тела представляет из себя совокупность шариков и пружинок (рисунок 2.6.

3).

Рисунок 2.6.3. Простейшая одномерная модель твердого тела.

В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики имеют массу m, а пружинки – жесткость k. Такая простая модель дает возможность описать распространение продольных и поперечных механических волн в твердом теле.

При распространении продольной волны шарики смещаются вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются, что есть деформация растяжения или сжатия.

Если подобная деформация происходит в жидкой или газообразной среде, ее сопровождает уплотнение или разрежение.

Замечание 2

Отличительная особенность продольных волн заключается в том, что они способны распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных.

Если в указанной модели твердого тела один или несколько шариков получают смещение перпендикулярно всей цепочке, можно говорить о возникновении деформации сдвига.

Пружины, получившие деформацию в результате смещения, будут стремиться вернуть смещенные частицы в положение равновесия, а на ближайшие несмещенные частицы начнет оказываться влияние упругих сил, стремящихся отклонить эти частицы от положения равновесия. Итогом станет возникновение поперечной волны в направлении вдоль цепочки.

В жидкой или газообразной среде упругая деформация сдвига не возникает. Смещение одного слоя жидкости или газа на некоторое расстояние относительно соседнего слоя не приведет к появлению касательных сил на границе между слоями.

Силы, которые оказывают воздействие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. Аналогично можно сказать и о газообразной среде.

Замечание 3

Таким образом, появление поперечных волн невозможно в жидкой или газообразной средах.

В плане практического применения особый интерес представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ. Синусоидальные волны получают распространение в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Запишем выражение, показывающее зависимость смещения y(x, t) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне от координаты x на оси OX, вдоль которой распространяется волна, и от времени t: 

y(x, t)=Acos ωt-xυ=Acos ωt-kx.

В приведенном выражении k=ωυ – так называемое волновое число, а ω=2πf является круговой частотой.

Бегущая волна

Рисунок 2.6.4 демонстрирует «моментальные фотографии» поперечной волны в момент времени t и t+Δt. За промежуток времени Δt волна перемещается вдоль оси OX на расстояние υΔt. Подобные волны носят название бегущих волн.

Рисунок 2.6.4. «Моментальные фотографии» бегущей синусоидальной волны в момент времени t и t+Δt.

Определение 4

Длина волны λ – это расстояние между двумя соседними точками на оси OX, испытывающими колебание в одинаковых фазах.

Расстояние, величина которого есть длина волны λ, волна проходит за период Т. Таким образом, формула длины волны имеет вид: λ=υT, где υ является скоростью распространения волны.

С течением времени t происходит изменение координатыx любой точки на графике, отображающем волновой процесс (к примеру, точка А на рисунке 2.6.4), при этом значение выражения ωt–kx остается неизменным. Спустя время Δt точка А переместится по оси OX на некоторое расстояние Δx=υΔt. Таким образом: 

ωt-kx=ω(t+∆t)-k(x+∆x)=const или ω∆t=k∆x.

Из указанного выражения следует:

υ=∆x∆t=ωk или k=2πλ=ωυ.

Становится очевидно, что бегущая синусоидальная волна имеет двойную периодичность – во времени и пространстве. Временной период является равным периоду колебаний T частиц среды, а пространственный период равен длине волны λ.

Определение 5

Волновое число k=2πλ – это пространственный аналог круговой частоты ω=-2πT.

Сделаем акцент на том, что уравнение y(x,t)=Acos ωt+kx является описанием синусоидальной волны, получающей распространение в направлении, противоположном направлению оси OX, со скоростью υ=-ωk.

Когда бегущая волна получает распространение, все частицы среды гармонически колеблются с некоторой частотой ω. Это означает, что как и при простом колебательном процессе, средняя потенциальная энергия, являющаяся запасом некоторого объема среды, есть средняя кинетическая энергия в том же объеме, пропорциональная квадрату амплитуды колебаний.

Замечание 4

Из вышесказанного можно сделать вывод, что, когда бегущая волна получает распространение, появляетсяпоток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.

Скорость распространения волны

Бегущие волны движутся в среде с определенными скоростями, находящимися в зависимости от типа волны, инертных и упругих свойств среды.

Скорость, с которой поперечные волны распространяются в натянутой струне или резиновом жгуте, имеет зависимость от погонной массы μ (или массы единицы длины) и силы натяжения T

υ=Tμ.

Скорость, с которой продольные волны распространяются в безграничной среде, рассчитывается при участии таких величин как плотность средыρ (или масса единицы объема) и модульвсестороннего сжатияB (равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления Δp и относительным изменением объема ΔVV, взятому с обратным знаком): 

∆p=-B∆VV.

Таким образом, скорость распространения продольных волн в безграничной среде, определяется по формуле:

υ=Bρ.

Пример 1

При температуре 20 °С скорость распространения продольных волн в воде υ≈1480 м/с, в различных сортах стали υ≈5–6 км/с.

Если речь идет о продольных волнах, получающих распространение в упругих стержнях, запись формулы для скорости волны содержит не модуль всестороннего сжатия, а модуль Юнга:

υ=Eρ.

Для стали отличие E от B незначительно, а вот для прочих материалов оно может составлять 20–30 % и больше.

Рисунок 2.6.5. Модель продольных и поперечных волн.

Стоячая волна

Предположим, что механическая волна, получившая распространение в некоторой среде, встретила на пути некое препятствие: в этом случае характер ее поведения резко изменится.

К примеру, на границе раздела двух сред с различающимися механическими свойствами волна частично отразится, а частично проникнет во вторую среду. Волна, пробегающая по резиновому жгуту или струне, отразится от зафиксированного конца, и возникнет встречная волна.

Если у струны зафиксированы оба конца, появятся сложные колебания, являющиеся итогом наложения (суперпозиции) двух волн, получающих распространение в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах.

Так «работают» струны всех струнных музыкальных инструментов, зафиксированные с обоих концов. Схожий процесс возникает при звучании духовых инструментов, в частности, органных труб.

Если волны, распространяющиеся по струне во встречных направлениях, обладают синусоидальной формой, то при определенных условиях они образуют стоячую волну.

Допустим, струна длины l зафиксирована таким образом, что один из ее концов расположен в точке x=0, а другой – в точке x1=L (рисунок 2.6.6). В струне имеется натяжение T.

Рисунок 2.6.6. Возникновение стоячей волны в струне, зафиксированной на обоих концах.

По струне одновременно пробегают в противоположных направлениях две волны с одинаковой частотой:

  • y1(x, t)=A cos (ωt+kx) – волна, распространяющаяся справа налево;
  • y2(x, t)=A cos (ωt-kx) – волна, распространяющаяся слева направо.

Точка x=0 – один из зафиксированных концов струны: в этой точке падающая волна y1 в результате отражения создает волну y2. Отражаясь от зафиксированного конца, отраженная волна входит в противофазу с падающей.

В соответствии с принципом суперпозиции (что есть экспериментальный факт) колебания, созданные встречными волнами во всех точках струны, суммируются.

Из сказанного следует, что итоговое колебание в каждой точке определяется как сумма колебаний, вызванных волнами y1 и y2 в отдельности. Таким образом:

y=y1(x, t)+y2(x, t)=(-2A sin ωt) sin kx.

Приведенное выражение является описанием стоячей волны. Введем некоторые понятия, применимые к такому явлению как стоячая волна.

Определение 6

Узлы – точки неподвижности в стоячей волне.

Пучности – точки, расположенные между узлами и колеблющиеся с максимальной амплитудой.

Если следовать данным определениям, для возникновения стоячей волны оба зафиксированных конца струны должны являться узлами. Указанная ранее формула отвечает этому условию на левом конце (x=0).

Чтобы условие было выполнено и на правом конце (x=L), необходимо чтобы kL=nπ, где n является любым целым числом.

Из сказанного можно сделать вывод, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а только тогда, когда длина L струны равна целому числу длин полуволн:

l=nλn2 или λn=2ln(n=1, 2, 3,…).

Набору значений λn длин волн соответствует набор возможных частот f

fn=υλn=nυ2l=nf1.

В этой записи υ=Tμ есть скорость, с которой распространяются поперечные волны по струне.

Определение 7

Каждая из частот fn и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f1 носит название основной частоты, все прочие (f2, f3, …) называются гармониками.

Рисунок 2.6.6 иллюстрирует нормальную моду для n=2.

Стоячая волна не обладает потоком энергии. Энергия колебаний, «запертая» в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в остальные части струны.

В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T) преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно, подобно обычной колебательной системе.

Однако, здесь имеется различие: если груз на пружине или маятник имеют единственную собственную частоту f0=ω02π, то струна характеризуется наличием бесконечного числа собственных (резонансных) частот fn. На рисунке 2.6.7 показано несколько вариантов стоячих волн в струне, зафиксированной на обоих концах.

Рисунок 2.6.7. Первые пять нормальных мод колебаний струны, зафиксированной на обоих концах.

Согласно принципу суперпозиции стоячие волны различных видов (с разными значениями n) способны одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Рисунок 2.6.8. Модель нормальных мод струны.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/volny/mehanicheskie-volny/

Механические колебания и волны – FIZI4KA

Что такое механические волны в физике. Волны

ЕГЭ 2018 по физике ›

Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.

Отличительными признаками колебательного движения являются:

  • повторяемость движения;
  • возвратность движения.

Для существования механических колебаний необходимо:

  • наличие возвращающей силы – силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия (при малых смещениях от положения равновесия);
  • наличие малого трения в системе.

Механические волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Виды волн

  • Поперечная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны.

Поперечная волна представляет собой чередование горбов и впадин.
Поперечные волны возникают вследствие сдвига слоев среды относительно друг друга, поэтому они распространяются в твердых телах.

  • Продольная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны.

Продольная волна представляет собой чередование областей уплотнения и разряжения.
Продольные волны возникают из-за сжатия и разряжения среды, поэтому они могут возникать в жидких, твердых и газообразных средах.

Важно!
Механические волны не переносят вещество среды. Они переносят энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

где ​\( x \)​ – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ​\( A \)​ – амплитуда колебаний; ​\( \omega t+\varphi_0 \)​ – фаза колебаний; ​\( \omega \)​ – циклическая частота; ​\( \varphi_0 \)​ – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ​\( v \)​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ​\( a \)​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ​\( F \)​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ​\( W_k \)​ – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
В положении равновесия:

  • потенциальная энергия равна нулю;
  • кинетическая энергия максимальна.

При максимальном отклонении от положения равновесия:

  • кинетическая энергия равна нулю;
  • потенциальная энергия максимальна.

Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Амплитуда и фаза колебаний

Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Обозначение – ​\( A\, (X_{max}) \)​, единицы измерения – м.

Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Обозначение – ​\( \varphi \)​, единицы измерения – рад (радиан).

Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний. Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.

​\( \varphi_0 \)​ – начальная фаза колебаний.

Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.

Важно!
Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Период колебаний

Период колебаний – это время одного полного колебания.
Обозначение – ​\( T \)​, единицы измерения – с.

Период гармонических колебаний – постоянная величина.

Частота колебаний

Частота колебаний – это число полных колебаний в единицу времени.
Обозначение – ​\( u \)​, единицы времени – с-1 или Гц (Герц).

1 Гц – это частота такого колебательного движения, при котором за каждую секунду совершается одно полное колебание:

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины:

Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд.
Обозначение – ​\( \omega \)​, единицы измерения – рад/с.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

  • при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
  • силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника:

Частота колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний математического маятника:

Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:

Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ​\( h \)​, определяется по формуле:

где ​\( l \)​ – длина нити, ​\( \alpha \)​ – угол отклонения от вертикали.

Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.

Период колебаний пружинного маятника:

Частота колебаний пружинного маятника:

Циклическая частота колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:

Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:

Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Резонанс

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое происходит при совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний тела.

Условие резонанса:

​\( v_0 \)​ – собственная частота колебаний маятника.

На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением. Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.

Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различных сооружениях.
Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.

Длина волны

Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах.
Обозначение – ​\( \lambda \)​, единицы измерения – м.

Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.

Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.

Основные формулы по теме «Механические колебания и волны»

Источник: https://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/mehanicheskie-kolebanija-i-volny-2.html

Консультант Кузнецов
Добавить комментарий